§ 38. ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРИЕМНИКА, ОБНАРУЖИВАЮЩЕГО НЕКОГЕРЕНТНУЮ ПАЧКУ

Перейдем к вычислению вероятностей для приемника, осуществляющего обнаружение некогерентной пачки. Поскольку в силу формулы (37.09) все сигналы пачки имеют одинаковую интенсивность, то выражение - (37.17) принимает вид

Введем величину по формуле

и будем принимать решение по что в силу соотношения (37.24) дает оптимальные результаты для слабых сигналов. При отсутствии сигнала плотность вероятности величины равна

При наличии пачки из некогерентных сигналов плотность вероятности равна

где есть модифицированная функция Бесселя с индексом при малых значениях своего аргумента х приближенно равная

Выведем формулу (38.04). Для этого прежде всего отметим, что при формула (38.04) принимает вид

т. е. совпадает с распределением Райса (33.41). Поэтому при формула (38.04) справедлива. Будем теперь считать, что формула (38.04) доказана для некоторого и докажем ее для Обозначив аргумент функции временно через , будем иметь

Случайные величины [она определяется формулой (38.02)] и очевидно, независимы, поэтому функция вычисляется по формуле

где введены полярные координаты по формулам

причем мы интегрируем по в пределах от 0 до по той причине, что величины в формулах (38.09) не

принимают отрицательных значений. В явном виде формула (38.08) такова:

Согласно второму определенному интегралу Сонина (см. Ватсон, Деория бесселевых функций, стр. 410) мы имеем:

поэтому формула (38.10) дает

что и требовалось доказать. Если ввести величину то распределение (38.04) можно также записать в виде (ср. сноску на стр. 206)

Если линейная внутрипериодная обработка принятых данных не является оптимальной, то формула (38.13) остается справедливой, но определяются формулами (33.44), где согласно формуле есть интенсивность помех на выходе квадратурных фильтров, осуществляющих обработку за каждый период повторения, а полезный сигнал на выходе этих фильтров [см. формулы (33.32)]. Доказательство этого утверждения легко провести методом полной индукции, отправляясь от формул (33.41) или (33.45) и повторяя выкладки этого параграфа.

Таким образом, применение неоптимальных линейных фильтров в приемнике эквивалентно уменьшению параметра —эффективного отношения сигнал/помеха за каждый период повторения, т. е. увеличению уровня помех. Этот параметр становится меньше своего оптимального значения, определяемого формулами (37.16) и (38.01), но закон распределения случайной величины при этом не меняется.

Если в формуле (38.13) положить и воспользоваться выражением (38.05), то мы получим плотность вероятности величины при отсутствии полезного сигнала

Это распределение соответствует распределению (хи-квад-рат). Вводя величину

получаем для нее плотность вероятности

Для интегралов

имеются подробные таблицы. Переходя от переменной к величине мы получаем формулу (38.03)

Вероятность ложной тревоги и правильного обнаружения можно вычислить по формулам

и

где есть пороговое значение величины При неоптимальной внутрипериодной обработке нужно положить в соответствии со сказанным выше.

Вычисление при заданном легко производить по таблицам распределения составленным Е. Е. Слуцким и — для весьма малых Пейчерсом (J. Pachares). Однако вычисление вероятности правильного обнаружения по формуле (38.19) является весьма трудоемким, поскольку соответствующие интегралы при не табулированы. Поэтому вероятность правильного обнаружения приходится рассчитывать с помощью приближенных формул. Так, например, в интеграле (38.19) функцию можно заменить степенным рядом, первый член которого приведен в формуле (38.05), и произвести почленное интегрирование; однако получаемое при этом выражение практически пригодно лишь для вычисления малых D (точнее, при При больших можно воспользоваться асимптотической формулой

благодаря которой формула (38.04) принимает вид

или

где

причем для вычисления членов порядка обозначенных в формуле (38.23) многоточием, необходимо уточнить асимптотическую формулу (38.20). Окончательно мы получаем асимптотическое выражение для вероятности правильного обнаружения пачки сигналов

где

При это выражение переходит в формулу Бунимовича (см. конец § 33).

В дальнейшем мы сведем интеграл (38.19) к интегралу вида (38.24) иным путем, а именно считая величину нормальной, что при во всяком случае справедливо в силу предельной теоремы теории вероятностей.

Найдем среднеезначение и дисперсию величины (38.02). Для этого вычислим интеграл

Пользуясь первым экспоненциальным интегралом Вебера в обобщенной форме (см. Ватсон, стр. 430)

мы получаем выражение

где

есть вырожденный гипергеометрический ряд, в котором отличны от нуля только первых членов. Отсюда находим

так что среднее значение и дисперсия случайной величины

оказываются равными

и при имеем

так что среднее значение и дисперсия величины соответствуют распределению

Считая случайную величину нормальной, можно написать следующее приближенное выражение для вероятности правильного обнаружения

Вероятность ложцой тревоги в зависимости от величины нормированного порога можно рассчитать с помощью формулы (38.17) и таблиц распределения На рис. 32 показана зависимость нормированного порога от вероятности ложной тревоги для различных

Вероятность правильного обнаружения можно рассчитать по (приближенным формулам; (38.24) и (38.34). При этом точность формулы (38.24) будет ухудшаться с ростом а точность формулы (38.34) — улучшаться. Это видно из того, что асимптотическое выражение (38.20), использованное при выводе формулы

Рис. 32. Зависимость порога от вероятности ложной тревоги при различном числе сигналов в некогерентной пачхе.

(38.24), имеет поправочные члены, возрастающие при увеличении а нормальное распределение должно при давать все большую точность в силу предельной теоремы теории вероятностей. На рис. 33—36 показаны характеристики обнаружения некогерентной пачки сигналов, построенные по обеим формулам. Ввиду появления дополнительного параметра мы строим характеристики, откладывая по оси абсцисс а по оси ординат — отношение сишал/помеха за один период повторения (для нижних кривых) или отношение сигнал/помеха для всей пачки (верхние кривые). Вероятности постоянны для каждой кривой, при верхние и нижние кривые пересекаются, поскольку тогда

На рис. 33, а-36, а в увеличенном масштабе изображена зависимость от при фиксированных Сплошные кривые соответствуют формуле (38.34), пунктирные — формуле (38.24). Как правило, сплошные и пунктирные кривые либо очень близки на всем протяжении, либо сближаются в некотором интервале значений Кривые на рис. 33, б - 36, б, которые мы считаем наиболее точными, получены интерполяцией пунктирных и сплошных кривых на рис. 33,а-36а, причем при меньших значениях предпочтение отдавалось пунктирным, а при больших значениях сплошным кривым. Примерная точность результирующих кривых (рис. 33, б — 36, б) составляет 0,5 дб.

Верхние кривые на рис. 33, б-36, б позволяют оценить, насколько нужно увеличивать полную энергию пачки, чтобы добиться заданных вероятностей при увеличении числа сигналов в пачке (уровень помех предполагается постоянным). Соответствующее приращение полной энергии можно назвать потерями на некогерентность при «дроблении» сигнала. Если пачка когерентна, то такие потери отсутствуют, и характеристики обнаружения пачки однозначно определяются ее полной энергией.

Если для грубой ориентировки положить, что величина при наличии одного шума также подчиняется нормальному закону, то вероятность ложной тревоги может быть вычислена по формуле

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Мы видим, что при условии когда можно воспользоваться характеристиками простого обнаружения, считая эффективное отношение сигнал/помеха равным

[ср. формулу (31.36) и конец § 35]. Формула (38.36) показывает, что накопление после квадратичного детектора при малых отношениях сигнал/помеха на входе детектора дает отношение сигнал/помеха на выходе, пропорциональное числу периодов повторения полезного сигнала и квадрату отношения сигнал/помеха на входе детектора. В этом проявляется уже известное нам (ср. § 18 и 33) подавление слабого сигнала сильной помехой при детектировании (или эквивалентной ему обработке), необходимом для сигнала с неизвестной начальной фазой.

Из формулы (38.36) следуют приближенные соотношения

определяющие наклон кривых на рис. 33—36 при больших и малых Наоборот, при больших параметр (при фиксированных ) слабо зависит от и потери на некогерентное дробление сигнала малы. По мере увеличения эти потери растут, причем формулы (38.37) соответствуют наиболее быстрому росту потерь.

Необходимо иметь в виду, что замена законов распределения (38.03) и (38.04) нормальными законами дает (при данном достаточно большом значении удовлетворительные результаты лишь для «центральной» части кривой распределения, но не для ее «крыльев». Поскольку вычисление малых (а также близких к единице) связано с использованием именно «крыльев» кривой распределения, это вычисление необходимо производить, используя точные функции (38.03) и (38.04), а, например, приближенное соотношение (38.36) справедливо лишь для не очень малых

В заключение отметим, что, хотя оптимальным детектором для сильных сигналов является линейный детектор, а для слабых - «квадратичный, характеристика детектора на самом деле существенного значения не имеет. В статье Поляка и В. С. Кельзона показано, что линейный

детектор приводит к характеристикам обнаружения, отличающимся от характеристик квадратичного детектора — при заданных менее чем на 1 дб (по отношению сигнал/помеха).