§ 55. ИЗМЕРЕНИЕ МОМЕНТА ПРИХОДА СИГНАЛА ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОМЕХАХ

Неравенство (52.47), выведенное ранее для простого измерения любого параметра, упрощается в случае, когда х есть время прихода полезного сигнала, поскольку тогда величина не зависит от х и определяется формулой

Интеграл в правой части неравенства (52.47) тогда вычисляется элементарно, и мы получаем

где

есть минимальная вероятность ошибки в оптимальном приемнике, различающем два равновероятных сигнала [т. е. обнаруживающем разностный сигнал (52.37)].

В § 52 мы показали, что при малых в и слабых помехах в соотношении (55.02) можно знак неравенства заменить знаком равенства, если простое изменение производится по коэффициенту правдоподобия. При сильных помехах, когда

отношение Сигнал/помеха достаточно мало, мы, очевидно, имеем

так как вероятность получить в данном интервале определяется априорным распределением (52.32). Следовательно, и в этом предельном случае в соотношении (55.02) можно взять знак равенства. Однако в промежуточных случаях коэффициент А лишь определяет нижнюю границу вероятности ошибки при оптимальном измерении.

Величину А мы изобразили на рис. 53. Ее можно назвать коэффициентом неопределенности (или ненадежности) при измерении. При коэффициент вероятность ошибки исчезает, и мы получаем при измерении определенный результат. При коэффициент это значит, что наблюдаемые максимумы (пики) коэффициента правдоподобия или апостериорного распределения никаким сигналам не соответствуют и являются лишь случайными выбросами помехи, полностью маскирующей полезный сигнал.

Коэффициент А и рис. 53 допускают различные интерпретации. Пусть мы измеряем положение сигнала на фоне белого шума по входному процессу причем продолжительность сигнала равна и вне соответствующего интервала сигнал равен нулю. По формулам (52.03) и (31.27) мы получаем:

или при

так что для сигналов, имеющих полную продолжительность

и

Беря последнее значение мы получаем коэффициент неоднозначности А в узком смысле этого слоза, который мы будем обозначать через Величина определяет вероятность принять за полезный сигнал ложный пик коэффициента правдоподобия вызванный шумом и не имеющий никакого отношения к сигналу.

Рис. 53. Коэффициент неопределенности А (и величина как функция : 1 - для сигнала с известной амплитудой; 2 — для сигнала со случайной амплитудой, распределенной по закону Релея.

При вместо формулы (55.08) нужно применять общую формулу (55.01), которая, вообще говоря, приводит к меньшему значению и большему значению коэффициента неопределенности А Это объясняется сложением вероятностей ошибок двух типов: ошибки принять ложный пик за

сигнал (вероятность этой ошибки дает и ошибки в точном определении момента прихода сигнала по правильному пику вследствие того, что шум смещает максимум этого пика и получается

Формулу (55.02) можно обобщить на случай сложного измерения, когда полезный сигнал зависит от дополнительного параметра который не измеряется и принимает непрерывную совокупность значений. Для этого нужно воспользоваться формулой полной вероятности (29.04)

где есть плотность вероятности случайного параметра , а вероятность ошибки при измерении параметра при условии, что параметр имеет определенное значение. Последняя вероятность не отличается от вероятности ошибки при простом измеоении, поэтому для нее справедливы формулы (55.02) и (55.03), причем параметр вообще говоря, зависит от .

Если параметр является фазой полезного сигнала, то согласно § 33 параметр от не зависит, так что для измерения момента прихода сигнала с неизвестной фазой справедливы формулы (55.02) и (55.03), выведенные выше для простого измерения. Результаты § 54 показывают, что при достаточно слабых помехах в формуле (55.02), как и при простом измерении, следует взять знак равенства.

Если дополнительный параметр является случайной амплитудой (огибающей) то

и формула (55.09) приводит к соотношению

Если считать, что амплитуда сигнала распределена по закону Релея

(ср. § 34), то дзойной интеграл можно преобразовать с помощью формулы Дирихле следующим образом

так что мы опять получаем неравенство (55.02), в котором коэффициент неопределенности

характеризует измерение времени прихода сигнала с неизвестной амплитудой или же с неизвестными амплитудой и фазой.

Величина (55.14) также изображена на рис. 53 как функция Мы видим, что при больших коэффициент А для сигнала со случайной амплитудой гораздо больше, чем для сигнала с постоянной амплитудой. Отметим, что при измерении параметра у сигнала со случайной амплитудой, могущей принимать сколь угодно малые значения, помеху сколь угодно малой интенсивности нельзя считать

слабой в смысле § 52—54. Поэтому в настоящее время точность (или, скорее, надежность) измерения момента прихода флюктуирующего сигнала можно количественно оценить только с помощью коэффициента А.

При использовании полученных в этом параграфе результатов следует помнить, что коэффициент А определяет не саму ошибку измерения, а ее нижнюю границу, так как неравенство (55.02) лишь в предельных случаях переходит в равенство. Это значит, что если коэффициент А близок к единице, то измерение может дать лишь неопределенный результат, но из малости А (скажем, из значений или какие-либо количественные выводы сделать трудно. В конце следующего параграфа мы рассмотрим этот вопрос более детально.