§ 27. ФИЛЬТРАЦИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ПРОЦЕССОВ. II

В задачах фильтрации большое значение имеют частотные соотношения, а именно соотношения между спектральными интенсивностями (или амплитудами) и частотными характеристиками соответствующих фильтров (ср. § 2, 16, 23 и 25). Эти соотношения применимы, если соответствующие случайные процессы или случайные последовательности являются стационарными.

Начцем со случайных последовательностей. Если корреляционная функция формулу (26.33)] является четной функцией разности

то спектральную интенсивность можно определить формулой

обращение которой имеет вид

Последнюю формулу легко вывести, обобщая рассуждения § 24.

Аналогичным образом вводится частотная характеристика фильтра, для которого функция формулу (26.41)] удовлетворяет соотношению

По определению, комплексная частотная характеристика фильтра равна

причем

Согласно § 23 частотная характеристика оптимального фильтра I типа, восстанавливающего элементы стационарной случайной последовательности по значениям бесконечной последовательности равна

где спектральная интенсивность полезной последовательности, спектральная интенсивность помехи. При этом предполагается отсутствие корреляции между

помехой и полезным сигналом; тогда средний квадрат ошибки фильтрации равен

Для фильтров II и III типов получаются более сложные формулы, и средняя квадратичная ошибка увеличивается (или, в порядке исключения, остается постоянной).

Переход к непрерывным процессам получаем, полагая и обозначая При этом ряды (27.02) и (27.05) превращаются в интегралы, а в формулах (27.03), (27.06) и (27.08) интегрирование производится в пределах Соответствующие выражения были выписаны в гл. I.

В задаче об обнаружении последовательности (26.46) на фоне помех мы пришли к уравнению

где есть корреляционная функция помех. Если считать, что мы располагаем последовательностью бесконечной в обе стороны, то в формуле (27.09) производится суммирование в пределах — и частотная характеристика (27.05) в данной задаче согласно § 25 получается равной

где

а - произвольный элемент последовательности (26.31). Отношение сигнал/помеха в частотном представлении дается выражением

при фиксированном значении Бели же амплитуда является случайной величиной, то средним отношением сигнал/помеха (на выходе оптимального фильтра обнаружения) естественно считать величину,

При мы возвращаемся к формулам § 16.

В предыдущем изложении мы. неявно предполагали, что сдвиг полезного сигнала во времени может быть произвольным, т. е. в формуле (26.46) есть любое целое число — положительное или отрицательное. Если возможные значения ограничены, то можно по-прежнему вводить частотную характеристику фильтра, но при нужно помнить, что для выделения и обнаружения полезного сигнала нужна лишь соответствующая часть значений а именно В частности, если может принимать лишь одно значение то возвращаемся к случаю сигнала известной формы и с известным временем появления, когда — в результате «филытрации» последовательности или функции получается число (а не последовательность или функция). Поскольку к последнему случаю можно (перейти, постепенно уменьшая число возможных значений то можно считать, что фильтрация по формулам (26.20), (26,22) и (26.23) имеет частотную характеристику

причем отношение сигнал/помеха на выходе фильтра равно

С таким фильтром мы будем неоднократно иметь дело в теории оптимальных приемников, обнаруживающих сигнал известной формы. К непрерывным процессам мы приходим, полагая

Вообще говоря, фильтр с частотной характеристикой (27.10) или (27.14) будет фильтром I типа, обрабатывающим функцию или последовательность заданные в бесконечном интервале времени (при — Однако при некоррелированной помехе (белом шуме) этот фильтр по существу использует функцию или последовательность в конечном интервале времени, начальный момент которого определяется появлением самого раннего сигнала, а конечный момент — окончанием самого позднего сигнала (ем. § 17). Для коррелированной помехи этот интервал следует несколько расширить за счет добавочных интервалов в начале и конце, продолжительность которых определяется временем корреляции помехи. Если функция или последовательность на входе приемника заданы в таком интервале, то линейный фильтр, производящий оптимальную обработку этих данных, будет по-прежнему иметь частотную характеристику (27.10) или (27.14).