ПРИЛОЖЕНИЕ I. ТЕОРИЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ И ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРИЕМНИКИ

Задача об обнаружении сигнала на фане случайных помех является статистической задачей о выборе одной из двух взаимно исключающих гипотез. Пусть входная функция может либо состоять из сигнала и помехи

(гипотезу, связанную с этим событием, мы будем обозначать через либо сводиться к чистой помехе

(гипотезу, связанную с этим событием, мы будем обозначать через

Задача заключается в том, чтобы указать правило решения, которое бы «наилучшим» образом позволило на основании функции решить, какая из двух гипотез или Но верна. Очевидно, что такое решение будет тем «лучше», чем больше свойств сигнала и «помехи может быть использовано при построении правила решения.

Пусть случайная функция характеризуется распределением вероятности при справедливости гипотезы и распределением при справедливости гипотезы Но. Если мы вместо непрерывной функции рассматриваем Я выборок функции являются Я-мерными распределениями вероятностей, так что более подробно следует писать

причем к непрерывной функции нетрудно перейти, полагая и (ср. § 26).

Для простоты предположим, что распределения (1.03) имеют плотности вероятности так что

— вероятности того, что находятся в соответствующих интервалах при справедливости гипотез В этих формулах каждая входная функция

представляется точкой в -мерном пространстве с координатами есть элемент объема в этом пространстве. Мы будем также предполагать, что известны априорные вероятности событий, соответствующие гипотезам Н, и а именно так что

Выбор правила решения заключается в разбиении пространства на две области такие, что при попадании точки в область выносится решение о верности гипотезы Ни а при попадании в область -решение о том, что верна гипотеза

Подобное разбиение схематически изображено на рис. 62 для случая В связи с этим и возникает вопрос об оптимальном правиле решения или оптймальном разбиении пространства на области

Рис. 62. Области соответствующие правилу решения.

В гл. V мы рассматривали оптимальные приемники обнаружения, образующие апостериорную вероятность и сравнивающие ее с некоторым поро При этом качество решения характеризуется вероятностями правильных решений (вероятность правильного обнаружения, т. е. вероятность принять гипотезу когда она верна) и (вероятность правильного необнаружения, т. е. вероятность принять гипотезу когда она верна) и вероятностями ошибочных решений (вероятность пропуска сигнала, т. е. вероятность принять гипотезу когда верна гипотеза (вероятность ложной тревоги, т. е. вероятность принять гипотезу когда верна гипотеза В силу определений имеют место очевидные соотношения

В теории статистических решающих функций вводится понятие цены различных ситуаций и соответствующих решений. В простейшей проблеме обнаружения вводят четыре цены, которые обозначаются через причем есть цена правильного обнаружения, цена пропуска сигнала, С — цена ложной тревоги и цена правильного необнаружения.

Будем считать, что цены удовлетворяют условиям

т. е. цена любого неправильного решения больше цены соответствующего правильного решения. Если наблюдатель принимает решения по какому-то правилу и платит какую-то цену в зависимости от того, какая из четырех возможностей реализовалась, то функция потерь (называемая также функцией риска)

определяет, очевидно, среднюю плату, причем чем меньше тем, очевидно, «лучше» правило решения.

Учитывая соотношения (1.06), имеем

Оптимальным правилом решения назовем (вместе с Вальдом) такое правило, при котором величина минимальна.

Вторая строчка формулы (1.09) от правила решения (от областей не зависит, поэтому минимум достигается при минимуме интеграла, входящего в формулу (1.09). Первое слагаемое в подынтегральном выражении формулы (1.09) в силу неравенства (1.07) отрицательно или равно нулю, а второе — положительно или равно нулю. Если мы выберем область так, чтобы выполнялось условие

или

то, очевидно, величина будет иметь минимальное значение.

В самом деле, исключение из области любой ее части, в которой удовлетворяется условие (1.10), приводит к увеличению интеграла в формуле (1.09) и, следовательно, к увеличению наоборот, включение в область любого элемента объема, в котором справедливо неравенство, противоположное (1.10), также ведет к увеличению

Вводя обозначения

и

получим правило решения в виде

где для определенности случай мы отнесли к гипотезе То же правило мы получили в гл. V из иных соображений.

При

величина (1.08) равна полной вероятности ошибки

а правило решения (1.14) обеспечивает минимум полной вероятности ошибки или максимум полной вероятности правильного решения

если порог А выбирается равным

Порог (1.18) может быть получен и при условии, менее жестком, чем условия (1.15), а именно при

Наблюдателя, принимающего решения по данному правилу, в литературе принято называть идеальным

наблюдателем Зигерта. Мы видим, что при построении оптимального приемника, эквивалентного этому наблюдателю, необходимо знать априорные вероятности что в ряде случаев связано с определенными трудностями (ср. § 30).

Наблюдатель Неймана-Пирсона не использует априорных вероятностей Согласно критерию Неймана-Пирсона оптимальное правило решения должно давать максимум вероятности правильного обнаружения при заданной вероятности ложной тревоги. Нетрудно показать, что наблюдатель Неймана-Пирсона должен принимать решения по правилу (1.14), где, однако, порог определяется не формулой (1.13), в правой части которой стоят неизвестные нам параметры, а непосредственно вероятностью ложной тревоги

по второй формуле (1.06).

В теории статистических решений рассматривается также последовательный анализ поступающих данных. При этом задаются вероятности (или , время наблюдения не фиксируется, а остается случайной переменной, причем вводится также цена единицы времени. Вальд показал, что оптимальное правило решения, дающее минимум функции риска, зависящей в данном случае и от времени наблюдения, достигается при следующем правиле решения:

где пороги решения определяются формулами

Наблюдение происходит до тех пор, пока не перейдет первый раз любой из порогов или