§ 24. ТЕОРЕМА ХИНЧИНА ДЛЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ФИЛЬТРАЦИИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Опираясь на аналогию между случайными последовательностями и случайными процессами, естественно считать функцию определяемую первой формулой

(23.20), спектральной интенсивностью случайной последовательности Рассматривая далее формулы (2.18) и (2.19), с одной стороны, и формулы (23.21) и (23.24) — с другой, естественно назвать функцию комплексной частотной характеристикой (или коэффициентом передачи) фильтра, работающего по формуле (23.05) или (23.16).

Справедливость последнего наименования можно обосновать следующим образом: будем брать в формуле (23.16) входную последовательность в виде

тогда последовательность на выходе линейного фильтра дается формулами

где определяется формулой (23.21). Отсюда видно, что функция является частотной характеристикой, как она обычно вводится в радиотехнике (ср. § 2). Сама же переменная со есть, очевидно, круговая частота (безразмерная).

В качестве примера рассмотрим фильтр, работающий по формуле

Сравнивая эту формулу с выражением (23.16), мы видим, что

и потому по формуле (16.21) получаем

Из первой формулы (23.25) вытекает соотношение

на основании которого естественно считать, что величина есть интенсивность случайной последовательности в полосе частот так что

есть интенсивность, соответствующая единичной полосе (ср. начало § 3). Доказательство этого утверждения нетрудно получить, пропуская данную последовательность через полосовой фильтр (ср. § 3); оно совершенно аналогично тому, которое было проведено для процессов, поэтому мы его здесь не повторяем. Таким образом мы получаем обобщение теоремы Хинчина на случайные последовательности.

Единственным отличием спектральной интенсивности случайной последовательности является ее периодичность (с периодом ), вытекающая из формул (23.20). Таким же свойством обладает и частотная характеристика любого линейного фильтра для последовательностей: действительно, по формуле (23.21) получаем

Периодичность функций объясняется тем, что при замене на элементы входных и выходных последовательностей (24.01) и (24.02) не изменяются.

Из энергетического смысла функции вытекает условие

накладывающее ограничение также на числа

Рассмотрим простейшие примеры случайных последовательностей. Если элементы последовательности не коррелированы, то

и такая последовательность ймеет спектральную интенсивность

Это — аналог абсолютно случайного процесса — белого шума (§ 12), также имеющего постоянную спектральную интенсивность. Всякая корреляция между элементами последовательности приводит к неравномерному спектру. Так, например, при

получаем

причем при мы возвращаемся к формулам (24.09), (24.10).

Спектральная интенсивность, соответствующая взаимной корреляционной функции, не имеет такого четкого энергетического смысла, как для автокорреляционной функции (ср. § 3).

Фильтрация стационарных последовательностей по формуле (23.31) в сущности сводится к их частотному разделению (ср. § 2). Как показывает формула (23.32), разделение происходит без ошибки, если спектры полезного сигнала и помехи не перекрываются, если

причем мы считаем, что взаимная корреляция между сигналом и помехой отсутствует. Если же спектры перекрываются, то фильтрация сопровождается ошибкой даже при использовании всех элементов последовательности от до При фильтрации по части элементов ошибка будет больше (во всяком случае не меньше).

Какое применение может найти теория фильтрации стационарных случайных последовательностей? Прежде всего ясно, что случайные процессы и случайные последовательности весьма близки друг к другу. Это видно не только из аналогии между формулами, но также из теоремы Котельникова (§ 19), по которой случайный процесс с ограниченным спектром определяется последовательностью своих значений через промежутки времени

Выше мы рассмотрели задачу об оптимальном фильтре, работающем по формуле (23.05), т. е. комбинирующем Я элементов последовательности так, чтобы помеха была подавлена, а полезный сигнал — усилился по сравнению с помехой. Такое комбинирование может производиться с помощью ручного счета или счетно-решающего устройства: все равно имеет смысл говорить о частотной характеристике прибора, осуществляющего это комбинирование.

В этой задаче выделяется элемент случайной последовательности с минимальной ошибкой. Вообще говоря, такая постановка задачи характерна для техники связи, где полезный сигнал — переносит некоторое неизвестное сообщение. Часто бывает достаточным лишь обнаружение последовательности (установление ее наличия или отсутствия «в целом») или измерение некоторых ее неизвестных параметров. Такая постановка задачи

в теории случайных процессов ведет к фильтрам для сигналов известной формы (см. гл. III). В следующем параграфе мы рассмотрим аналогичную задачу для последовательностей.