§ 34. ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛА С НЕИЗВЕСТНЫМИ ФАЗОЙ И АМПЛИТУДОЙ

Во многих задачах неизвестными являются два параметра: высокочастотная фаза и амплитуда (огибающая) сигнала Например, радиолокационный сигнал, отраженный от цели, имеет неизвестную фазу и флюктуирует. Если время наблюдения мало по сравнению со временем флюктуации, то неизвестные параметры можно считать постоянными.

Запишем полезный сигнал в виде

тогда выборки полезного сигнала будут равны

Коэффициент правдоподобия определится выражением

где

и

где определяется формулой (33.09).

Найдем коэффициент правдоподобия считая, что фаза имеет равномерное распределение в пределах окружности

Тогда

Коэффициент правдоподобия равен

Формулы (34.07) и (34.08) показывают, что есгь монотонно возрастающая функция поэтому решение о наличии или отсутствии полезного сигнала удобно принимать по величине Таким образом, оптимальное правило решения будет такое же, как при неизвестной фазе и известной амплитуде:

где порог решения.

В дальнейшем нам понадобится величина А для случая, когда амплитуда распределена по закону Релея

где мы нормировали огибающую таким образом, что

Тогда

Вводя переменную

преобразуем интеграл (34.12) к виду

Умножив и разделив это выражение на получим

В последней формуле интеграл равен единице в силу тождества (33.46), и мы имеем:

Найдем При отсутствии полезного сигнала величина распределена по закону Релея, следовательно, вероятность ложной тревоги равна

При наличии полезного сигнала и фиксированном имеем:

и функция распределения величины при наличии сигнала с амплитудой равна

Вероятность правильного обнаружения при фиксированном равна

Полная вероятность правильного обнаружения выразится следующим образом:

Вычисляя внутренний интеграл так же, как при переходе от формулы (34.12) к формуле (34.16), мы получим

где

При заданных величина может, быть рассчитана по формуле

Таким образом, в данном случаг вероятности связаны соотношением

простота которого объясняется тем, что, в силу взятых выше законов распределения огибающей и фазы полезного сигнала, на выходе квадратурных фильтров мы получаем нормальные случайные величины. Действительно, формулы (34.04) мы можем переписать в виде (33.07), причем в отсутствие сигнала мы имеем где определяются формулами (33.20) и имеют моменты (33.21). При наличии полезного сигнала имеем

где случайные величины равны

В силу формул (34.06) и являются нормальными случайными величинами с моментами

причем они не зависят от величин

Рис. 31. Сравнение характеристик обнаружения сигнала с неизвестной фазой (сплошные кривые) и сигнала с неизвестными фазой и амплитудой (пунктир).

Поэтому суммарные величины (34.26) также нормальны и имеют моменты

Таким образом, в рассматриваемой задаче появление сигнала не меняет закона распределения величины а лишь

заменяет параметр в этом распределении на Поэтому из формулы (34.17)

сразу вытекает формула (34.22)

откуда и получаем соотношение (34.25). Формулу (34.31) нетрудно также получить из формул (31.41) и (34.16), что мы предоставляем сделать читателю; в порядке упражнения мы рекомендуем таким путем вычислить и в других случаях, а также найти при неоптимальной линейной обработке входных данных.

Отметим, что оптимальный приемник, обнаруживающий сигнал с неизвестной и известной амплитудой, должен производить над принятыми данными в обоих случаях одинаковые операции, однако вероятности правильного обнаружения будут сильно отличаться.

На рис. 31 пунктирными линиями показаны характеристики оптимального приемника обнаружения сигнала с неизвестными амплитудой и фазой, сплошными линиями — сигнала с неизвестной фазой и известной амплитудой. Мы видим опять (ср. конец § 33), что и при неизвестной фазе недостоверное обнаружение сигнала с неизвестной амплитудой происходит легче, а достоверное — труднее.