ГЛАВА II. ФИЛЬТРАЦИЯ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

§ 8. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ЛИНЕЙНОГО ФИЛЬТРА II ТИПА

Для фильтров II типа функция удовлетворяет добавочному условию

аналогичному условию (1.14), и формула (4.39) принимает вид

Таким образом, фильтр II типа использует входной процесс за полубесконечный промежуток времени. Фильтр I типа использует информацию за промежуток времени, бесконечный в обе стороны, поэтому он более эффективен, чем фильтр II типа, и, в частности, его средняя квадратичная ошибка меньше.

При коэффициенты и функция оптимального фильтра II типа должны удовлетворять тому же уравнению (5.08)

что и в случае фильтров I типа, однако, при это уравнение не должно выполняться, поскольку

Вместо этого должно выполняться условие (8.01), благодаря чему задача становится гораздо сложнее.

Применим к уравнению (8.03) преобразование Фурье. Для этого воспользуемся формулами

и

Воспользовавшись также соотношением

мы преобразуем уравнение (8.03) к виду 00

где

есть неизвестная нам частотная характеристика (коэффициент передачи) искомого фильтра, причем слагаемое исчезает при и допускает преобразование Фурье, известные спектральные функции.

Если бы функция К И была нам известна, то мы могли бы представить ее в виде (8.09) и по функции вычислить [ср. формулу (4.40)] функцию

которая должна удовлетворять условию (8.01). Поэтому наряду с уравнением (8.08) должно выполняться еще уравнение

Вся трудность состоит в том, что функция должна удовлетворять двум соотношениям (8.08) и (8.11). Мы будем искать неизвестную функцию предполагал сначала, что функции даны нам не в виде эмпирических кривых, а в виде формул, допускающих аналитическое продолжение в область комплексных частот, будем считать, функциями комплексного переменного, аналитическими в некоторой окрестности вещественной оси на плоскости комплексного переменного .

Вводя обозначение

мы можем переписать уравнение (8.08) в виде

Для дальнейшего преобразуем его следующим образом. Умножим обе части на и проинтегрируем от 0 до

Если есть комплексное число, лежащее в нижней полуплоскости (ниже вещественной оси), так что то в интеграле (8.14) можно изменить порядок интегрирования

поскольку внутрений интеграл

сходится.

Окончательно уравнение (8.08) можно переписать в виде

Поступая так же с соотношением (8.11), т. е. умножая на и интегрируя от до 0, мы преобразуем его к виду

Интегралы, стоящие в левых частях формул (8.17) и (8.18), называются в теории функций комплексного переменного интегралами типа Коши. В следующем параграфе мы увидим, что теория функций комплексного переменного позволяет найти неизвестные нам функции из соотношений (8.17) и (8.18). Предварительно мы рассмотрим некоторые положения теории функций комплексного переменного, которые нам понадобятся в дальнейшем.

Теорема Коши. По теореме Коши, если функция является аналитической в некоторой односвязной области, то ее значение в любой точке этой области выражается через значения этой функции на замкнутом контуре С, окружающем эту точку (см. рис. 7), следующей формулой

где — переменная интегрирования, а интеграл берется в положительном направлении (против часовой стрелки).

Лемма Жордана. Эту лемму можно сформулировать так. Если функция в верхней полуплоскости и на вещественной оси (т. е. при ) удовлетворяет условию

есть некоторое положительное число, то при имеем

где полуокружность с центром в начале координат и радиусом находящаяся в верхней полуплоскости (рис. 8).

Рис. 7. Контур С на комплексной плоскости (к теореме Коши).

Рис. 8. Контур на комплексной плоскости (к лемме Жордана).

Если то соотношение (8.21) справедливо, если в нижней полуплоскости и на вещественной оси (т. е. при выполняются те же условия, тогда полуокружность лежит в нижней полуплоскости.

Нам понадобится также следующая лемма.

Лемма Пусть функция является аналитической в полосе

и на концах этой полосы (при ) убывает достаточно быстро, по крайней мере, быстрее, чем где в приложениях мы будем брать так что полоса (8.22) содержит вещественную ось. Тогда, какова бы ни была функция вне полосы, она может быть разложена на сумму

где функция, аналитическая во всей верхней полуплоскости, включая полосу (8.22), т. е. при

функция, аналитическая по всей нижней полуплоскости, включая полосу (8.22), т. е. при

Доказательство леммы вытекает из теоремы Коши (8.19) для функции Действительно, возьмем в качестве контура интегрирования прямоугольник (рис. 9) и будем концы этого контура продолжать до бесконечности, причем направление обхода контура будем брать против часовой стрелки. Тогда благодаря убыванию при интеграл по каждой горизонтали сходится быстрее, чем интеграл

т. е. стремится к определенному пределу. По той же причине интегралы по вертикальным отрезкам стремятся к нулю.

Рис. 9. Прямоугольный контур (к лемме I).

Поэтому функцию в полосе (8.22) можно представить так

где первый интеграл берется по нижнему краю полосы, а второй — по верхнему краю. Обозначим

Первый интеграл представляет собой аналитическую функцию выше пути интегрирования. Ниже пути интегрирования тоже аналитическая функция, но уже другая, поскольку при переходе через путь интегрирования функция терпит скачок. Второй интеграл представляет собой функцию, аналитическую ниже пути интегрирования, т. е. можно продолжить аналитически во всю нижнюю полуплоскость.

Дадим оценку поведения функций на бесконечности; она имеет различный вид для случаев Если то при

где интеграл

в силу условия сходится.

Если число заключено между 0 и 1 (или ), то мы получаем расходящийся интеграл . В этом случае можно показать, что функция убывает медленнее, чем Действительно, разобьем интеграл для функции на три интеграла по промежуткам, изображенным на рис. 10. Интеграл по промежутку 2 есть интеграл в конечных пределах, и для него справедлива оценка Что касается интегралов но участкам 1 и 3, то при достаточно большом их можно оценить, если положить на них где С — константа. Тогда, например, интеграл по промежутку 3 равен

где Интеграл в правой части равенства (8.29) при либо конечен (если ), либо возрастает, как (если ), поскольку

Аналогичную оценку будем иметь и для интеграла по левому промежутку 1. Следовательно, убывает, как или т. е. медленнее, чем Такие же свойства имеет и функция

Рис. 10. Разбиение интервала интегрирования на три части (к лемме I).

Теория интегральных уравнений, к которым сводится исследование оптимальных фильтров II типа, дана Винером и Хопфом и с более общей точки зрения — В. А. Фоком. В нашем изложении методики решения уравнения (8.03) мы, в основном, следуем работе Фока.