§ 54. СЛОЖНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ ВРЕМЕНИ ПРИХОДА СИГНАЛА ПРИ СЛАБЫХ ПОМЕХАХ
В предыдущем изложении мы не учитывали того обстоятельства, что полезный сигнал 
время прихода 
которого мы должны измерить, имеет характер высокочастотного сигнала и может быть записан в виде
где 
несущая частота, 
огибающая, 
медленно меняющаяся (дополнительная) фаза, 
— начальная фаза. Такой же характер имеет и функция
которую можно написать в виде
где
причем 
медленно меняющиеся функции (по сравнению с высокочастотной фазой 
Оптимальное устройство точного измерения позволяет в принципе измерить время прихода с точностью до долей периода несущей, равного 
Для этого необходимо измерять начальную фазу 
полезного сигнала. Однако в большинстве случаев детальная информация о времени запаздывания, связанная с фазой 
, является излишней, так что 6 можно считать неизвестным параметром, равномерно распределенным в пределах окружности 
Тогда мы приходим к проблеме сложного измерения параметра 
при наличии случайного (неизвестного) параметра 
причем коэффициент правдоподобия 
оказывается равным (ср. § 33)
При прямоугольном априорном распределении (52.32) и независимости от 
оптимальный приемник сложного измерения должен выдавать 
измеренное значение х, соответствующее максимуму функции
Пусть данные нам значения 
равны
где 
есть истинное время прихода полезного сигнала, 
его фаза, 
значения помехи в моменты 
Пренебрегая, как в § 33, суммами быстро осциллирующих слагаемых, пропорциональных
мы без каких-либо других пренебрежений можем преобразовать формулу (54.06) к виду
где величины 
определяются соотношениями 
Нетрудно показать (ср. § 53), что 
причем 
есть четная, а 
нечетная функция 
кроме того,
Если параметр 
велик (т. е. помехи достаточно слабые), то первый член в каждой из фигурных скобок (54.09), как правило, значительно больше второго (т. е. суммы, обусловленной значениями помехи и 
и поэтому при образовании квадратов сумм в фигурных скобках можно пренебречь квадратами этих членов. В результате получаем
где
Пренебрегая при вычислении квадратного корня из правой части (54.12) членами порядка -2 по сравнению с удержанными, т. е. делая то же приближение, что и при написании самой формулы (54.12), получим
Можно сказать, что при достаточно больших отношениях сигнал/помеха выражение для огибающей 
как бы линеаризуется, т. е. представляется в виде суммы полезного сигнала 
и помехи 
Чтобы избежать усложнений, ограничимся наиболее простым случаем, когда помеха является белым шумом
В этом случае формулы (54.10) дают
если к тому же сделать предположение, что частотная и фазовая модуляции отсутствуют 
Из формулы (54.13) легко находим
Пользуясь приближенным выражением
где
мы, как и в § 52 и 53, получаем для дисперсии 
измеряемого значения 
выражение
по существу эквивалентное формуле (53.16).
В предыдущем параграфе мы считали, что полезный сигнал является видеоимпульсом — колоколообразным, треугольным или трапецоидальным импульсом без высокочастотного заполнения. Выведенные выше соотношения показывают, что если полезный сигнал является высокочастотным импульсом без фазовой и частотной модуляции, то при больших значениях у. измерение момента его прихода сводится к измерению момента прихода видеоимпульса 
где 
огибающая высокочастотного импульса. Тем самым результаты § 53 распространяются на случай радиолокационного измерения дальности и азимута по времени прихода радиоимпульсов.
