§ 42. ВЕРОЯТНОСТИ F И D ПРИ ЧЕРЕСПЕРИОДНОМ ВЫЧИТАНИИ

Найдем вероятности ложной тревоги и правильного обнаружения для приемника, образующего величину

и принимающего решения правилу некоторый порог)

Выше мы показали, что такой приемник является оптимальным для сильно коррелированных помех и любых смещений частот, а при -для произвольной корреляции помех.

Если в формуле (39.12) разложить на сумму то величины представляются так:

где

и

Из формул (39.06), (39.09) и (39.12) следует, что

Случайные величины являются нормальными, причем

где принимают значения 1 и 2.

При отсутствии полезного сигнала величина равна

В силу формул (42.07) случайные величины и имеют следующие моменты:

и являются нормальными. Поэтому для огибающей § получается распределение Релея

формулу (33.27)] и вероятность ложной тревоги равна

При наличии полезного сигнала будем иметь:

где мы ввели обозначения

и

Из соотношений (42.12) видно, что при наличии полезного сигнала с фиксированным сдвигом фаз величина имеет распределение Райса (33.41), в котором надо считать

Поэтому

Обозначая

где

можно написать распределение для огибающей при наличии на входе сигнала и помехи в виде

Тогда вероятность правильного обнаружения при фиксированном сдвиге фаз будет равна

Величина определяемая формулой (42.16), есть отношение сигнал/помеха на выходе вычитающего устройства при фиксированном Действительно, формулы (42.08) и

где усреднение производится по фазе Поэтому отношение сигнал/помеха (по мощности) действительно равно

Полная вероятность правильного обнаружения (при любых допплеровских сдвигах фазы) получается, если усреднить функцию по Считая для простоты все значения равновероятными, получим

Величина зависит (кроме порога связанного с вероятностью ложной тревоги от параметра определяемого формулой (42.17), который является отношением сигнал/помеха на выходе вычитающего устройства при произвольном Действительно, при произвольном фазы и статистически независимы; так что, пользуясь обозначениями формулы (42.20), мы получим

и отношение сигнал/помеха в данном случае равно

На рис. 38 сплошные кривые дают зависимость от у, где определяется формулой (42.16). Эти кривые не отличаются от кривых оптимального обнаружения ночного сигнала с неизвестной высокочастотной фазой на фоне нормальных помех, только по оси абсцисс теперь, откладывается эффективное отношение сигнал/помеха на выходе вычитающего устройства. Заметим, что при заданных нетрудно вычислить по формуле

соответствующее отношение сигнал/помеха за один период повторения (но после оптимальной внутрипериодной обработки).

На рис. 39 изображена зависимость полной вероятности (при произвольном от мы видим, что при увеличении вероятность правильного обнаружения стремится к единице весьма медленно (гораздо медленнее, чем, например, на рис. 38). Это объясняется тем, что даже при весьма больших (скажем, при дб) обнаружение целей со скоростями, близкими к слепым скоростям, не достоверно.

Рис. 38. Сравнение двухканальной (сплошные кризые) и одноканальной (пунктир) схем череспериодного вычитания при известном

Интересно, что при т. е. имеем:

и масштабы на рис. 38 и 39 совпадают.

Мы рассмотрели выше оптимальный радйолокацйой-ный приемник при наличии хаотических отражений и собственных шумов. Полезно сравнить полученные нами теоретические результаты с более простыми схемами, в частности с одноканальной когерентной компенсацией хаотических отражений. Рассмотрим прежде всего обработку принятого сигнала за один период.

Рис. 39. Сравнение двухканальной (сплошная кривая) и одноканальной (пунктир) схем череспериодного вычитания при неизвестном

В оптимальной системе по сравнению с когерентной частотная характеристика определяется формулой (33.15), а частотная характеристика когерентного приемника обычно имеет форму, близкую к прямоугольной. Выигрыш в отношении сигнал/помеха в оптимальной системе по сравнению с прямоугольной, был рассмотрен в § 21. Этот выигрыш можно получить неопределенно большим, применяя фильтр Урковица с достаточно широкой полосой частот, однако при этом большую роль начинают играть собственные шумы приемника. Соотношение между мощностью собственных шумов приемника и мощностью

хаотических отражений определяют целесообразную ширину полосы фильтра Урковица. Необходимо также напомнить, что если произведение ширины полосы пропускания на длительность импульса удовлетворяет условию Да) то фильтр Урковица и прямоугольный фильтр дают на выходе примерно одинаковые отношения сигнал/помеха (см. рис. 25).

Если обработка принятых данных в каждом периоде повторения производится неоптимальным образом, то это приводит к уменьшенному значению но не препятствует использованию теории оптимального приемника в отношении междупериодной обработки сигналов. Если когерентный метод компенсации хаотических отражений применяется в упрощенном, «одноканальном» варианте, т. е. использует только величину

по которой и выносится решение о наличии или отсутствии цели, то в этом случае используется не вся возможная информация. Так, например, при и начальной фазе полезный сигнал не наблюдается, поскольку он должен был появиться в отсутствующем канале

Найдем вероятность ложной тревоги и правильного обнаружения в одноканальном когерентном приемнике, работающем по правилу

— порог решения.

При отсутствии полезного сигнала распределение величины определяется формулой

и вероятность ложной тревоги равна

При наличии сигнала с неизвестным фазовым сдвигом распределение определяется формулой

так что вероятность правильного обнаружения при известном равна

а полная вероятность правильного обнаружения

На рис. 38 пунктирными линиями изображена зависимость от параметра который по-прежнему определяется формулой (42.16). Мы видим, что при "одноканальной" компенсации вероятность значительно меньше вероятности, соответствующей компенсации в двух квадратурных каналах. В. частности, при мы имеем а при больших функция чрезвычайно медленно стремится к единице. Это объясняется тем, что имеются полезные сигналы со слепыми фазами котооые при одноканальной обработке полностью пропадают. Полезные сигналы, для которых в близко к этим значениям, наблюдаются с трудом и обусловливают медленность стремления к единице при То же самое мы видим и на рис. 39, где

сопоставляются характеристики двухканального (оптимального) и одноканального обнаружения при неизвестном сдвиге частоты. Заметим, что ввиду трудностей вычисления по формулам (42.32) и (42.33) характеристики одноканального приемника, изображенные на рис. 38 и 39, рассчитаны довольно грубо и поэтому не претендуют на большую точность.

В заключение отметим, что одноканальные когерентные радиолокационные приемники, осуществляющие компенсацию хаотических отражений, обычно содержат дополнительные нелинейные элементы, ввиду чего полученные выше теоретические результаты следует применять к ним с некоторой осторожностью.