§ 7. ОБ ОСНОВНЫХ ПОЛОЖЕНИЯХ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ
Вернемся к основным положениям статистической теории фильтрации.
Прежде всего, полезный сигнал и помеха предполагаются стационарными случайными процессами с известными корреляционными свойствами. Стационарность обоих процессов означает, что статистические свойства каждого из них с течением времени не меняются, т. е. что свойства каждого процесса не зависят от того, в какой именно интервал времени рассматриваем мы данный процесс. Мы считали также, что корреляционные функции нам известны; это значит, что производились какие-то предварительные исследования данного процесса.
Под оптимальными фильтрами в статистической теории фильтрации подразумеваются фильтры, работающие с минимальной средней квадратичной ошибкой. Этот критерий
ведет к наиболее простым соотношениям. Однако фактически он применим тогда, когда нежелательность ошибки возрастает с ее величиной. Но возможны случаи, когда все ошибки, превышающие некоторый предел, в одинаковой мере нежелательны: в таких случаях естественно пользоваться другим критерием.
Изложенная выше теория ограничивается линейными фильтрами. Нелинейных фильтров мы не рассматривали. В гл. VIII мы рассмотрим теорию фильтрации нормальных (гауссовых) процессов и последовательностей с более общей точки зрения и покажем, что в этом случае оптимальный линейный фильтр действительно является оптимальным также по сравнению с любым другим фильтром — линейным или нелинейным, а критерий средней квадратичной ошибки эквивалентен ряду других критериев. Этот результат можно объяснить, грубо говоря, тем, что все вероятностные характеристики нормальных процессов с равным нулю средним значением определяются их корреляционными функциями. Линейный фильтр как раз использует эти функции, и необходимость в линейных фильтрах возникает только для случайных процессов, статистические свойства которых не исчерпываются функциями корреляции.
Таким образом, нелинейные фильтры могут иметь значение лишь для случайных процессов, не подчиняющихся нормальному закону. Преимущество таких фильтров по сравнению с линейными должно сказываться тем сильнее, чем больше данный случайный процесс отличается от нормального. Теория нелинейных фильтров весьма сложна, и ощутимых практических результатов она до сих пор не дала.
В радиолокации проблему фильтрации следует ставить иначе. В то время как помеху можно по-прежнему считать случайным процессом, полезный сигнал здесь уже имеет определенную форму (например, является прямоугольным импульсом), только с некоторыми неизвестными параметрами. Поэтому проблема фильтрации не сводится к воспроизведению полезного сигнала в малоискаженной форме, а возникает задача такого преобразования полезного сигнала, чтобы обнаружение его среди помех и измерение его параметров сопровождалось наименьшей ошибкой. Фильтры такого типа мы рассмотрим в гл. III.
Впервые проблемы линейной экстраполяции стационарных случайных последовательностей и процессов были
исследованы в работах А. Н. Колмогорова и других советских математиков. Однако лишь благодаря работам Норберта Винера по оптимальной линейной фильтрации и экстраполяции случайных процессов данные проблемы вышли за рамки чистой математики и приобрели практическое значение.
Поскольку эти задачи о фильтрации явились своего рода образцом для «оптимального» решения целого ряда других статистических задач, представляющих интерес для техники, мы продолжим их изучение в следующей главе. Более подробное изложение относящихся сюда вопросов читатель может найти в обзорной статье А. М. Яглома и в ряде книг
