§ 45. ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРИЕМНИКА, ПРОИЗВОДЯЩЕГО КВАДРАТИЧНОЕ СУММИРОВАНИЕ

Если полезный сигнал отсутствует, то нормальные случайные величины и сводятся к величинам определяемым формулами (42.05). Поскольку помеха не обладает междупериодной корреляцией, все нормальных величин независимы, причем их моменты равны

Величина имеет распределение степенями свободы (ср. § 38), а именно

и вероятность ложной тревоги равна

При наличии полезного сигнала следует в формуле (45.01) заменить на как это видно из выражений (34.28) и (34.29). Для некоррелированных (быстрых) мерцаний, когда все независимы, формула (45.02) также

применима, если заменить на , и вероятность правильного обнаружения равна

Для полностью коррелированных (медленных) мерцаний все в пачке равны, так что мы имеем пачку сигналов с одинаковой амплитудой При фиксированном величина имеет функцию распределения

получаемую из формулы (38.13) заменой на формулы (32.03) и (44.04)]. Искомая функция распределения величины равна (см. Ватсон, стр. 431)

Эту функцию можно представить так:

и вычислять с помощью таблиц распоеделения Эквивалентность формул (45.06) и (45.07) нетрудно доказать повторным интегрированием по частям.

Вероятность правильного обнаружения получается путем интегрирования по частям в виде

При формулы (45.03) и (45.04) приводят к выражениям

выведенным нами уже в § 34. При 2 квадратичное накопление сигналов от быстрой и медленно мерцающей цели приводит к различным вероятностям правильного обнаружения.

Для пачки из двух сигналов можно вычислить при любом значении коэффициента (44.10), т. е. при любой корреляции мерцаний. Действительно, функция распределения величин и согласно формуле (60.22) равна

где

есть коэффициенг корреляции смеси сигнала и помехи.

Формула (45.10) обоснозывается следующим образом. Для пачки из двух когерентных сигналов имеют место соотношения

вытекающие из комплексных формул (47.17), выведенный ниже, причем

и есть приращение фазы, обусловленное движением цели. Очевидно, что для когерентной пачки являются нормальными случайными величинами, поэтому обозначая

можно воспользоваться формулой (60.16), которая в данном случае принимает вид

Если теперь считать все возможные значения равновероятными и проинтегрировать по а затем по любой из фаз то мы и придем к формуле (45.10). С другой стороны, пачка из двух когерентных сигналоз при произвольном значении в формуле (43.08) является по существу некогерентной пачкой, откуда и вытекает применимость формулы (45.10) в данном случае.

Функция распределения величины для двух сигналов равна

[ср. формулу (38.08)]. Подставляя в эту формулу выражение (45.10) для функции получим для величины плотность вероятности

которая с помощью первого определенного интеграла Сонина (Ватсон, стр. 406) приводится к виду

Вероятность правильного обнаружения равна

При эта формула дает выражение

согласующееся с формулой (45.04) при Полагая получим

что совпадает с формулой (45.08) при

Заметим, что аналогичные формулы получаются, если накопление импульсов производить после квадратичного детектора при произвольной линейной обработке входного сигнала, в то время как выше мы предполагали линейную обработку оптимальной. Неоптимальность линейной обработки лишь уменьшает параметр отношение сигнал/помеха за период повторения, но не препятствует рассмотрению дальнейших преобразований смеси сигнала и помехи, которые происходят так же, как и после оптимальной линейной обработки, но с другим (уменьшенным) значением (ср. § 38 и 42).

На рис. 40 дана зависимость числа сигналов в пачке — от параметра при заданной вероятности ложной тревоги и вероятностях правильного обнаружения Оплошные линии на рис. 40, а соответствуют быстрым (независимым) мерцаниям цели, на рис. 40, б — медленным (одинаковым) мерцаниям. Пунктиром на рис. 40, а и 40, б нанесены кривые для цели, дающей пачку сигналов с постоянной (нефлюктуирующей)

(кликните для просмотра скана)

амплитудой; эти кривые одинаковы для обоих рисунков — они позволяют судить, насколько приходится увеличивать энергию каждого сигнала, чтобы обеспечить обнаружение мерцающей цели при тех же .

Мы видим, что для быстрых флюктуаций необходимое приращение невелико, причем при росте и уменьшении это приращение падает. Действительно, при больших появление серии сигналов с малой энергией мало вероятно и согласно закону больших чисел энергия пачки будет испытывать тем меньшие случайные колебания около вредней величины, чем больше же (скажем, то вступает в силу обстоятельство, уже отмеченное ранее (см. § 32 и 34), в силу которого уверенное обнаружение флюктуирующего полезного сигнала требует тем большего приращения чем ближе требуемая вероятность к единице.

При сравнении пачки постоянных сигналов с пачкой флюктуирующих сигналов нужно иметь в виду, что для одного флюктуирующего сигнала согласно формулам (44.04) и (43.07) мы имеем:

в то время как для постоянного сигнала Поэтому, чтобы достичь сближения кривых при по оси абсцисс на рис. 40, а откладывается параметр

причем для единообразия то же сделано и на рис. 40, б, 41, а и 41, б.

Рис. 40,б показывает, что обнаружение медленно мерцающей цели по пачке из сигналов с вероятностью требует, как и обнаружение одиночного флюктуирующего сигнала, определенного увеличения по сравнению с постоянной целью (§ 34). Требуемое приращение в децибелах почти не зависит от и резко возрастает при стремлении к единице.

На рис. 41 дана зависимость вероятности правильного обнаружения от для пачки из двух сигналов с различными коэффициентами корреляции при Мы видим, что при больших вероятность правильного обнаружения зависит от коэффициента

(кликните для просмотра скана)

корреляции в то время как при дб эта зависимость практически отсутствует. Заметим также, что предположения о некоррелированных и полностью корелированных мерцаниях позволяют установить границы, в которых заключены интересующие нас характеристики приемника при промежуточных значениях

Рис. 40 и 41 заимствованы нами из статьи Шварца, чем и объясняется их "нестандартная" форма. Следует отметить, что в литературе под отношением сигнал/помеха часто понимают параметр определяемый формулами (45.23).