§ 21. ФИЛЬТР УРКОВИЦА

В предыдущих параграфах (§ 17, 18 и 20) мы подробно рассмотрели оптимальные линейные фильтры для обнаружения сигналов известной формы и измерения их параметров на фоне белого шума. В некоторых случаях, однако, представляют интерес и другие (помехи, спектральная интенсивность которых не является постоянной в пределах полосы частот, занятой сигналом. Наиболее важным примером таких помех являются помехи, обусловленные отражением зондирующих радиолокационных сигналов от многочисленных и хаотически расположенных местных предметов. Подробное рассмотрение таких помех дано в гл. XI, здесь мы ограничимся краткой формулировкой тех их свойств, которые нам понадобятся в этом параграфе.

Источником помех данного типа является большое число рассеивающих частиц, например капель дождя, беспорядочно расположенных в пространстве и благодаря своей многочисленности маскирующих полезный радиолокационный сигнал, отраженный от наблюдаемого объекта. В качестве первого приближения к действительности примем, что как рассеивающие частицы, так и наблюдаемый объект неподвижны, и что облучение производится с помощью последовательности некогерентных импульсов (или

некогерентных радиолокационных сигналов другой формы). При такой постановке вопроса полезный сигнал отличается от помехи лишь своей «концентрацией» во времени, поскольку обусловливающий его объект находится в определенном месте, а рассеивающие частицы распределены (приблизительно равномерно) в большом объеме, окружающем этот объект. Это физическое различие может быть использовано для увеличения отношения сигнал/помеха при обработке принятой суммы сигнал помеха за один период повторения.

Поскольку каждая частица становится источником отраженного сигнала и все эти сигналы складываются некогерентно в силу случайного (хаотического) расположения частиц, спектральная интенсивность помех может быть вычислена по формуле (20.07), т. е.

где комплексная спектральная амплитуда зондирующего радиолокационного сигнала (одиночного, т. е. за один период повторения). Частотная характеристика оптимального фильтра (16.14) в этом случае равна

Беря для простоты и мы получаем

Если бы удалось осуществить фильтр с комплексной частотной характеристикой (21.03), то полезный сигнал (16.06) на выходе такого фильтра был бы равен

а отношение сигнал/помеха на выходе фильтра согласно формуле (16.15) было бы равно

Бесконечное значение получилось из-за того, что частотная характеристика (21.03) соответствует фильтру с

бесконечно широкой полосой пропускания. Такой фильтр, во-первых, практически невозможно реализовать и, во-вторых, он будет весьма уязвим по отношению к белым шумам, например к собственным шумам приемника.

Поэтому мы предположим, что частотная характеристика равна при

Тогда полезный сигнал (16.06) на выходе фильтра определяется сходящимся интегралом

или

причем его максимальное значение достигается при оно равно

Формулы (21.04) и (21.08) показывают, что фильтры (21.03) и (21.06) концентрируют полезный сигнал, давая в момент резкий выброс, величина которого пропорциональна Спектральная интенсивность помех на выходе фильтра равна

т. е.

Таким образом, фильтр (21.06) «обеляет» помеху, превращая ее в стационарный процесс с постоянной (в пределах полосы пропускания фильтра) спектральной интенсивностью. Белый шум получается потому, что каждый

элементарный сигнал, даваемый одиночным рассеивателем, как и полезный сигнал от наблюдаемого объекта, превращается в весьма кратковременный импульс (21.08) или в пределе — в (21.04), а совокупность таких случайно возникающих импульсов как раз дает нам белый шум (ср. § 12).

Отметим, что рассмотренный ранее согласованный фильтр, имеющий частотную характеристику (17.02), преобразует помеху в обратную сторону — он превращает белый шум со спектральной интенсивностью (17.01) в помеху. со спектральной интенсивностью

которую можно рассматривать как совокупность случайно возникающих импульсов той же формы, что и сам полезный сигнал на входе фильтра.

Интенсивность помех (16.09) на выходе фильтра с частотной характеристикой (21.06) равна

так что формула (16.08) дает

Это выражение полезно сопоставить с отношением сигнал/помеха на входе фильтра. Если сигнал представляет собой прямоугольный импульс (20.01), то по формулам (20.10) и (20.11) имеем

так что

и

Таким образом, действие фильтра, определяемого формулой (21.06), проявляется тем сильнее, чем больше произведение полосы фильтра на длительность импульса Т. Из формул (21.14) и (21.15) видно, что само по себе увеличение не улучшает обнаружения сигнала на фоне

помех, поскольку интенсивность помех сама пропорциональна длительности импульса То, и можно лишь утверждать, что обнаружение сигнала облегчается при увеличении ширины полосы статье Урковица содержатся соображения о практической реализации фильтров с частотными характеристиками, близкими к (21.06).

Сравним также действие фильтра (21.06) с действием прямоугольного фильтра с частотной характеристикой (17.23). При условии (17.27) максимальное значение согласно формуле (17.29) равно

При ббльших максимальное значение [несколько превышающее достигается при некоторых значениях так что огибающая сигнала становится немонотонной функцией Если прямоугольная частотная характеристика фильтра несколько сглажена, то этот эффект места не имеет. В дальнейшем мы им пренебрегаем и определяем отношение сигнал/помеха на выходе прямоугольного фильтра, как и раньше, формулой

где согласно выражениям (16.08) и (20.03)

или

Последний интеграл легко приводится к интегральному синусу (17.33). В самом деле, интегрирование по частям дает

так что

и

Действие прямоугольного фильтра можно характеризовать отношением

где есть величина (21.16).

Рис. 24. Выделение сигнала на фоне хаотических отражений с помощью прямоугольного фильтра.

Это отношение изображено на рис. 24: мы видим, что вплоть до расширение ширины полосы ведет к увеличению при меньших X увёличение происходит приблизительно линейно, как в формуле (21.17).

Обозначая через величину (21.14), реализуемую

фильтром Урковица с той же шириной полосы мы будем иметь

Это отношение изображено на рис. 25. Мы видим, что при оба фильтра примерно равноценны, и лишь при больших значениях X (широкополосные фильтры) проявляются преимущества фильтра (21.06).

Рис. 25. Сравнение прямоугольного фильтра с фильтром Урковица.

Фактически допустимая ширина полосы определяется интенсивностью белых шумов, всегда присутствующих в радиоприемных устройствах. Если обозначить постоянную (не зависящую от частоты) спектральную интенсивность белого шума через то полная спектральная интенсивность помех равна

так что вместо формулы (21.02) мы будем иметь

Если мы имеем прямоугольный радиоимпульс, то но формуле (20.03)

и если отношение

достаточно мало, то при фильтр (21.27) достаточно близок к фильтру (21.06). В силу неравенства

максимальную величину для фильтра (21.06) можно найти из требования

поскольку при слагаемое в знаменателе (21.27) будет меньше первого члена и весь фильтр (21.27) будет ближе к согласованному фильтру (17.02), чем к фильтру (21.06). Формулы (21.29) и (21.31) дают

или

Следует отметить, что помехи, обусловленные хаотическими отражениями, и белые шумы, например собственные шумы приемника, предъявляют к приемному устройству в значительной степени противоречивые требования. Как выше отмечалось, увеличение при хаотических отражениях достигается увеличением полосы фильтра, однако серьезному увеличению препятствуют шумы. В дальнейшем мы будем неоднократно сталкиваться с подобным обстоятельством.

В данном параграфе выделение радиолокационного сигнала на фоне отражений от множества частиц рассмотрено в предположении, что как наблюдаемый объект, так и частицы неподвижны. Обычно же объект движется относительно частиц, что дает дополнительные возможности для его обнаружения; движение же рассеивателей затрудняет компенсацию помех (ср. гл. VI, VII и XI).