§ 33. ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛА С НЕИЗВЕСТНОЙ ФАЗОЙ

Рассмотрим обнаружение высокочастотного сигнала с неизвестной фазой 0, считая амплитуду высокочастотного сигнала, как и все другие параметры, известной.

Запишем полезный сигнал в виде

где его огибающая, несущая частота, дополнительная (медленно меняющаяся) фаза, обусловленная частотной или фазовой модуляцией. Выборки полезного сигнала будут равны

и коэффициент правдоподобия можно записать в виде

где

Произведем некоторые преобразования. Величину 9 представим в виде

где введены обозначения

Величина равна

причем второй суммой можно обычно пренебречь по сравнению с первой. Действительно, во второй сумме мы имеем быстро осциллирующие слагаемые, в значительной степени гасящие друг друга, в то время как в первой сумме, например, все члены с положительны и при большом числе выборок дают результат, значительно превосходящий вторую сумму. Поэтому в дальнейшем мы будем пользоваться выражением

которое от неизвестной фазы 0 не зависит.

Найдем коэффициент правдоподобия А, считая, что неизвестная высокочастотная фаза 6 равномерно распределена по окружности

Тогда

где модифицированная функция Бесселя нулевого порядка, определяемая формулой

Функция является монотонно возрастающей функцией своего аргумента, поэтому решение удобно принимать по величине Итак, оптимальное правило решения будет:

где порог решения.

Рассмотрим подробнее смысл величины Формулы (33.07) показывают, что величина равна

где х и у — величины, получающиеся на выходе двух квадратурных каналов; первый из этих каналов есть оптимальный линейный фильтр обнаружения полезного сигнала сигнала с фазой а второй — такой же фильтр для сигнала с фазой

Поэтому является огибающей на выходе оптимального линейного фильтра для полностью известного сигнала.

Как было показано в § 27, частотная характеристика фильтра, образующего величину (31.20), равна

где есть спектральная амплитуда сигнала В данном случае частотные характеристики фильтров, образующих величины х и у в формулах (33.07), равны

где есть спектральная амплитуда полезного сигнала (33.01), зависящего от неизвестной фазы 6. В § 27 отмечалось, что при обнаружении полностью известного сигнала важна не вся функция на выходе фильтра (33.15), а лишь величина ее значение в момент Подобно этому на выходе фильтров (33.16) получаются высокочастотные сигналы вида

где есть медленно меняющаяся фаза, а

— огибающая. При мы получаем величины фигурирующие в формулах (33.07)

Величину 3 можно получить и с помощью одного высокочастотного фильтра, например фильтра с частотной характеристикой или производя детектирование

одного из высокочастотных сигналов (33.17) на его выходе, что, как известно, равноценно вычислению по формуле (33.18); затем необходимо взять Таким образом, при неизвестной фазе полезного сигнала (33.01) оптимальный приемник обнаружения можно получить, соединяя оптимальный линейный фильтр для выделения того же сигнала с любой фиксированной фазой и детектор; при этом существенно значение огибающей в определенный момент

Заметим, что вместо огибающей оптимальный приемник может образовывать любую монотонно возрастающую вместе с функцию, например т. е. действовать как "линейный" или же как квадратичный детектор. Здесь мы сталкиваемся с таким явлением: отношение сигнал/помеха на выходе линейного, квадратичного и других детекторов будут разные (см. § 18), но вероятности правильного обнаружения при заданной вероятности ложной тревоги будут одинаковы вне зависимости от характеристики детектора и, следовательно, вне зависимости от последетекторного отношения сигнал/помеха, которое, в отличие от параметра у, никакого вероятностного смысла не имеет.

Вычислим вероятности ложной тревоги и правильного обнаружения Они определяются порогом решения и распределениями величины При отсутствии полезного сигнала величины х и у равны где

причем моменты нормальных случайных величин равны

Как при переходе от формулы (33.08) к формуле (33.09) мы пренебрегаем здесь «осциллирующими" суммами.

Найдем распределение величины

если нормальные величины с моментами

Такие величины будут образовываться на выходе квадратурных неоптимальных фильтров при отсутствии полезного сигнала; для оптимальных фильтров и мы возвращаемся к формулам (33.21).

В силу независимости нормальных случайных величин их двухмерная плотность вероятности равна

т. е. равна произведению двух одномерных функций Гаусса. Переходя от декартовых координат к полярным координатам по формулам

получим функцию распределения

показывающую, что случайные величины независимы. Распределение величины определяется так называемым законом Релея

Фаза имеет равномерную плотность вероятности в интервале Учитывая выражение (33.27), найдем

вероятность ложной тревоги как вероятность превышения величиной порога решения

Поэтому между нормированным порогом решения и вероятностью существует простая зависимость

Эта зависимость показана на рис. 26 пунктиром.

При наличии полезного сигнала величины х и у равны

где

В этом случае огибающая (33.14) распределена по так называемому закону Райса, который мы найдем при условии, что х по-прежнему нормальны и имеют моменты равны

где при оптимальной линейной обработке по формуле (33.04) среднее значение Здесь приходится различать огибающую и фазу относящиеся к помехе, и огибающую и фазу относящиеся к суммарной величине сигнал+помеха. Мы имеем

или

и, следовательно, величина является функцией некоторой постоянной величины и случайных величин

Поэтому для нахождения функции распределения при наличии сигнала можно воспользоваться формулой

где интегрирование производится в указанных пределах изменения величины (33.34). Перейдем от полярных координат и к прямоугольным координатам

Тогда

Затем перейдем к новым полярным координатам и по формулам

В силу соотношения

мы получаем

или окончательно

Последнее выражение при отсутствии полезного сигнала переходит в (33.27), а при наличии полезного сигнала, когда используется оптимальный линейный фильтр и упрощается следующим образом:

Вероятность правильного обнаружения в общем случае равна

Переходя к безразмерным переменным

и исходя из (33.41), получим

причем имеет место тождество

Вероятности равны

Для оптимального приемника, исходя из соотношений имеем:

Таблицы интегралов (33.47) составлены С. А. Наволоцкой, однако этих таблиц недостаточно для расчета при

больших или Этот недостаток восполняет асимптотическая формула

полученная В. И. Бунимовичем, в которой

и

Упрощенный вывод этой формулы дан в § 38. Заметим, что при она формально переходит в формулу (31.35) для простого обнаружения.

На рис. 29 графически представлены результаты расчетов по таблицам (сплошные линии) и по формуле (33.49)

Рис. 29. Характеристики обнаружения сигнала с неизвестной фазой: - по таблицам функции Райса; по формуле Бунимовича, той же формуле при

с (пунктирные линий) и (штрихпунктирные линии). Мы видим, что применение первого члена асимптотического разложения (33.51) дает уже довольно точную аппроксимацию — более точную, чем при при обе приближенные формулы смыкаются с точной.

Рис. 30. Сравнение характеристик обнаружения полностью известного сигнала (сплошные кривые) и сигнала с неизвестной фазой (пунктир).

В § 18 мы показали, что после прохождения смеси помехи со слабым сигналом через детектор отношение сигнал/помеха уменьшается, так что можно считать, что в результате детектирования, неизбежного при неизвестной фазе, должны уменьшаться возможности обнаружения сигнала. Это предположение подтверждается. На рис. 30 произведено сравнение простого обнаружения (сплошные линии) и обнаружения сигнала с неизвестной фазой (пунктирные линии). Рисунок показывает, что при заданных для обнаружения сигнала с неизвестной фазой требуется несколько большее отношение сигнал/помеха. Однако в § 18 было так же показано, что при детектировании

смеси сигнала со слабой помехой отношение сигнал/помеха увеличивается. Это увеличение не связано с каким-то реальным выигрышем в обнаружении и лишь иллюстрирует слова Вудворда (см. § 28) о том, что отношение сигнал/шум имеет часто весьма косвенное отношение к фактической наблюдаемости полезных сигналов.

Однако в статистической теории приема естественно появился параметр который играет роль эффективного отношения сигнал/помеха и действительно характеризует вероятность обнаружения полезного сигнала на фоне нормальных помех. Он позволил, в частности, сравнить обнаружение полностью известного сигнала с сигналом, имеющим неизвестную амплитуду или фазу, и таким образом (благодаря своему единообразному определению во всех этих случаях) понять влияние неизвестных параметров на наблюдаемость сигнала.