§ 13. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ СИНГУЛЯРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Предыдущие результаты, в частности теория прогнозирующего фильтра, базировались на предположении, что функции существуют. В случае, когда есть рациональная функция частоты, эти функции всегда можно построить (см. § 9 или 10), и, следовательно, процесс всегда можно с помощью надлежащего фильтра II типа превратить в белый шум (см. рис. 14) и, наоборот, получить эквивалент процесса пропусканием белого шума через обратный фильтр

II типа (рис. 13). В данном случае частотные характеристики обоих фильтров также являются рациональными функциями формулу (9.24)], так что они легко осуществляются в виде электрической цепи с сосредоточенными постоянными (ср. далее § 15).

Проблему разбиения данной функции на множй тели можно интерпретировать с помощью модели случайного процесса, рассмотренной в § 12. А именно, будем считать процесс наложением случайно возникающих возмущений определенной формы. Тогда спектральная амплитуда этих возмущений должна быть связана с заданной спектральной интенсивностью соотношением

в соответствии с формулой (12.14). Функция должна удовлетворять условию (12.05), поэтому функция должна быть аналитической в нижней полуплоскости а функция верхней. В частности, можно определить соотношением

и, в этом случае функция лишь постоянным множителем а отличается от реакции фильтра на единичный импульс, о чем, мы уже говорили в § 12.

Если для брать более широкий класс функций, чем рациональные, то мы можем встретиться с так называемыми сингулярными случайными процессами, для которых функции не существуют. Примерами сингулярных случайных процессов могут служить процессы с автокорреляционными функциями и спектральными интенсивностями (3.24) и (3.25). Такие процессы развитой выше теории не подчиняются, интегралы (11.08), (11.10) и (11.16) для них расходятся, поскольку слишком быстро возрастает при Случайный процесс, определяемый формулами (3.26), также является сингулярным, так как для него при

Случайный процесс называется сингулярным, если интеграл

расходится. Для того чтобы подчеркнуть, что расходимость важна при (а не при ), в интеграле

(13.03) можно написать вместо Тогда условие сингулярности примет вид

Сингулярность процесса означает, что он не может быть преобразован в эквивалент белого шума с помощью фильтра II типа и не может быть представлен в виде наложения беспорядочно возникающих возмущений. Ниже мы убедимся на примере, что сингулярные процессы обладают большей устойчивостью во времени, чем рассмотренные выше «регулярные» процессы, и поэтому могут быть прогнозированы сколь угодно далеко вперед со сколь угодно малой ошибкой. Регулярные же процессы, как мы Еидели выше, надежно прогнозируются лишь на интервал времени, сравнимый со временем корреляции, с длительностью единичного возмущения в «модели» соответствующего процесса.

Рассмотрим сингулярный процесс удовлетворяющий условию

Частным случаем такого процесса является процесс, у которого функция постоянна в интервале и равна нулю вне этого интервала [формула (3.26)]. Вообще же четная функция может изменяться в интервале любым образом, и мы будем предполагать лишь, что она ограничена

Покажем, что процесс можно экстраполировать сколь угодно далеко. Для этого мы выразим [см. далее формулу (13.17)] в явной форме значение через значения функции в предыдущие моменты где надлежащим образом выбранный отрезок времени. Рассмотрим случайную величину

где суть биномиальные коэффициенты

Величина называется разностью функции . В частности, при получаем первую и вторую разности

Случайные процессы связаны линейным преобразованием. Чтобы вычислить частотную характеристику фильтра, осуществляющего это преобразование, воспользуемся формулой (2.21), тогда

и, следовательно, частотная характеристика равна

Средний квадрат случайной величины можно вычислить по общей формуле (3.09)

Из неравенства (13.06) следует, что

Если выбрать теперь таким, чтобы было

или

то мы будем иметь предельное соотношение

и, следовательно, переписывая формулу (13.07) в виде

мы можем прогнозировать по предыдущим значениям делая при отбрасывании неизвестного нам слагаемого ошибку, среднее квадратичное значение которой исчезает при Найдя с любой заданной точностью мы может использовать это значение для определения д., допуская при этом сколь угодно малую ошибку.

К приведенному выше доказательству добавим, что применимость формулы (3.07) к линейным операциям, в результате которых получается величина (13.09), мы обосновали в § 4 [см. формулы (4.13) и (4.14), в которых нужно положить и т. д.]; тем самым обосновывается вычисление по формуле (13.12).

Доказанное выше положение перекликается с теоремой Котельникова, которую мы рассмотрим далее (см. § 19). В самом деле, из формулы (19.10) следует, что случайная функция со спектральной интенсивностью (13.05) является аналитической функцией времени и, следовательно, может быть экстраполирована с помощью ряда Тэйлора. Ограничиваясь в этом ряде конечным числом членов (беря, например, член), мы делаем по существу такую же ошибку, что и при отбрасывании члена в формуле (13.17). Заметим также, что фигурирующий в теореме Котельникова промежуток времени по крайней мере втрое, шире взятого выше интервала (13.15), необходимого для прогнозирования

Сингулярность случайных процессов со спектральными интенсивностями, удовлетворяющими условию (13.05), заставляет с осторожностью относиться к формулировкам: радиостанция работает в такой-то полосе частот, телефонный разговор занимает такой-то диапазон частот. Если бы

границы этих диапазонов были вполне резкими и вне этих диапазонов передаваемые сообщения, рассматриваемые как стационарные случайные процессы, обладали бы нулевой спектральной интенсивностью, то данные процессы были бы сингулярными, и их «прошлое» однозначно определяло бы их «будущее». Разумеется, реальная радиопередача или телефонный разговор подобной определенностью не обладают, что указывает на размытость границ частотного диапазона.

Спектр реальных помех также не может удовлетворять условию (13.05), поскольку от сингулярной помехи можно было бы избавиться путем прогнозирования и вычитания. В соответствии с этим мы рассматриваем в теории оптимальных приемников помехи с произвольным спектром.

Подчеркнем, что сингулярные случайные процессы с физической точки зрения являются результатом чрезмерной идеализации реальных процессов. Это легко понять хотя бы из того, что при образовании разностей высокого порядка «исчезают знаки» и требуется все более точное знание значений чему мешают неизбежные погрешности и помехи. При наличии сколь угодно слабой помехи (например, белого шума), накладывающейся на сингулярный процесс суммарный процесс

перестает быть сингулярным. В самом деле, при отсутствии корреляции между мы имеем [ср. формулу (2.37)]

и функция может быть разбита на множители Прогнозирование процесса в этом случае сочетается с отфильтровыванием помехи Оказывается, что в этом случае прогнозирование имеет нормальный характер (ср. § 12): чем долгосрочнее прогноз, тем его средняя квадратичная ошибка больше. Конечно, при стремлении интенсивности помехи к нулю мы получаем формальную возможность прогнозирования сколь угодно далеко вперед, однако для существенного увеличения длительности надежного прогноза необходимо чрезвычайно сильно увеличивать отношение сигнал/помеха.