§ 3. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ИНТЕНСИВНОСТИ

В предыдущем параграфе спектральные интенсивности были введены формально. Физический смысл спектральных интенсивностей, соответствующих автокорреляционным функциям, вытекает из теоремы Хинчина, к изложению которой мы и переходим.

Из четности функции следует, что и сопряженная ей по Фурье функция тоже четная. Действительно, в силу соотношения (1.09) формула (2.16) принимает вид

откуда

Теорема Хинчина утверждает, что функция для любого случайного процесса не может принимать отрицательных значений, т. е.

При этом оказывается, что произведение пропорционально интенсивности колебаний на выходе узкополосного фильтра, пропускающего лишь частотный диапазон когда на вход фильтра подан процесс

Из формулы (2.17) следует

Величина называется интенсивностью процесса Так, например, если есть напряжение, приложенное к концам некоторого сопротивления, то величина пропорциональна средней мощности, выделяемой в этом сопротивлении. Правая часть равенства (3.04) — некоторый интеграл по частотам. Естественно отождествить каждый элемент этого интеграла с интенсивностью, приходящейся на данную полосу частот.

Для доказательства этого положения поступим следующим образом. Пропустим процесс через линейный фильтр К. На выходе получим случайный процесс

интенсивность которого равна

где мы воспользовались первой формулой (2.30).

В силу вещественности функции из формулы (2.18) получаем следующее соотношение:

где звездочка обозначает комплексно сопряженную величину. Отсюда

и

Последняя формула связывает частотную характеристику фильтра К, спектральную функцию на входе и интенсивность колебаний на выходе фильтра.

Возьмем фильтр, частотная характеристика которого при частотах, лежащих в промежутках при других частотах. Тогда формула (3.09) дает

Так как в последней формуле левая часть неотрицательна, то мы получим неравенство (3.03).

Взятый нами для вывода формулы (3.10) фильтр К пропускает без изменения амплитуды синусоидальные колебания в частотных диапазонах и не пропускает колебаний с другими частотами формулу (2.23)]. Физический смысл спектральной функции также вытекает из формулы (3.10) Так как — круговая частота Добычная частота равна то интенсивность колебаний, приходящаяся на единичную полосу частот гц, например, если различать положительные и отрицательные частоты. Есля рассматривать только положительные частоты, т. е. писать формулы (3.04) и (3.09) в виде

то на спектральный интервал в 1 гц приходится интенсивность Отсюда и вытекает название спектральной интенсивности для функции

Формулы (2.17) и (3.03) позволяют вывести неравенство

т. е.

Поэтому функция корреляции при имеет наибольшее значение. Это соотношение можно доказать более просто, а именно с помощью неравенства

или

Образовывая среднее значение левой и правой частей этого соотношения, получаем неравенство

равноценное неравенству (3.12).

Наряду с автокорреляционной функцией вводится еще взаимная функция корреляции. Для двух процессов она определяется так:

Она отражает статистическую связь двух разных процессов в два различных момента времени. Если эти два процесса независимы, корреляционная функция обращается в нуль.

Взаимные корреляционные функции в отличие от автокорреляционных функций не являются четными, но, как легко показать,

где

Действительно,

откуда и следует равенство (3.15). Соотношение (3.15) переносится и на соответствующие спектральные функции

В силу вещественности функции пользуясь интегралом Фурье

нетрудно получить также соотношение

Функция в общем случае комплексна, поэтому она не допускает простого физического толкования. Чтобы уяснить себе ее смысл, возьмем случайный процесс равный сумме двух процессов

и вычислим функцию

Переходя к спектральным интенсивностям и пользуясь соотношениями (3.17) и (3.19), получим

Слагаемые по теореме Хинчина имеют четкий физический смысл, их сумма равна спектральной интенсивности при отсутствии корреляции между случайными процессами Дополнительное слагаемое есть «интерференционная» интенсивность, обусловленная статистической связью между Мнимая часть комплексной функции столь явного физического смысла не имеет.

Рассмотрим примеры автокорреляционных функций и соответствующих им спектральных интенсивностей. Обозначая через а некоторый параметр, имеющий размерность частоты, мы имеем пары функций

и наоборот

Формулы (3.23) всего легче проверить, задавая функцию и вычисляя по (2.16), а формулы (3.24) — задавая и используя соотношение (2.17). В обоих случаях

функции удовлетворяют условию (3.03). При гауссовой форме корреляционной функции спектральная интенсивность также имеет гауссову форму

Последняя пара функций

легче всего проверяется с помощью формулы (2.17). Она интересна тем, что в ней нельзя поменять местами функции и , как в формулах (3.23) и (3.24). В самом деле, полагая

мы получим функцию пропорциональную и поэтому принимающую отрицательные значения, чего по доказанному выше условию (3.03) быть не может. Отсюда видно, что теорема Хинчина накладывает определенные ограничения на автокорреляционную функцию не всякая четная функция х может быть корреляционной функцией, а лишь такая, которой соответствует неотрицательная спектральная интенсивность.

Функции в примерах (3.23 — 3.25) имеют максимум при в обе стороны от которого они монотонно убывают. Если назвать временем корреляции такой промежуток времени, что при функция корреляции принимает значения того же порядка, что и а вне этого интервала значительно меньше то во всех трех примерах Аналогично этому ширина спектра определяется так, чтобы в интервале была сосредоточена, большая часть интенсивности, а вне этого интервала функция была бы мала по сравнению с Во взятых трех примерах мы приходим к соотношению.,

В примере (3.26), очевидно, поскольку при мы имеем а при больших х функция принимает сравнительно малые значения. В этом случае

что несущественно отличается от (3.28).

Для функций рассмотренного выше типа можно вывести более точное выражение для произведения если надлежащим образом уточнить определение величин Определим ширину спектра с помощью соотношения

т. е. так, чтобы при аппроксимации кривой прямоугольником высоты и ширины заключенная под ним площадь была равна площади под всей кривой (рис. 5). Аналогичным образом определим время корреляции

Пользуясь формулами

мы приходим к соотношению

которое является уже точным.

Соотношения (3.28), (3.29) и (3.33) применимы к любой паре функций, связанных интегральным преобразованием Фурье, в частности к функциям линейного фильтра [формулы (2.18) и (2.19)]. Величина в данном случае определяет полосу пропускания фильтра, а величина временную «память» фильтра, т. е. интервал времени, в течение которого входной сигнал эффективно

влияет на значение выходного сигнала в фиксированный момент. Иначе говоря, характеризует растянутость функции во времени, т. е. продолжительность реакции фильтра на единичный импульс.

В заключение сделаем следующее замечание. Интегральное уравнение (2.10) показывает, что свойства оптимального фильтра определяются корреляционными функциями или же соответствующими спектральными интенсивностями. Поэтому изложенная выше теория фильтрации приводит к частотному разделению, хорошо известному в радиотехнике. Давно известно, что разделение двух случайных процессов, занимающих на шкале частот неперекрывающиеся интервалы (см. рис. 2), например разделение двух радиопередач, использующих различные волны, не представляет особого труда и осуществляется с помощью приемника, обладающего надлежащей частотной избирательностью. Наоборот, отфильтрование помех, занимающих тот же частотный диапазон, что и сам сигнал (рис. 3 и 4), например подавление собственных шумов приемника, является для радиотехники неразрешимой задачей. Как было показано в § 2, так же обстоит дело и в теории оптимальной фильтрации, обобщающей накопленный радиотехникой опыт борьбы с помехами.

Рис. 5. Определение ширины спектра.