§ 31. ПРОСТОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛА НА ФОНЕ КОРРЕЛИРОВАННЫХ НОРМАЛЬНЫХ ПОМЕХ

Согласно классификации § 29 простое обнаружение — это обнаружение полностью известного сигнала на фоне помех. В данной задаче полезный сигнал может либо отсутствовать, либо быть вполне определенной функцией времени.

Что касается помехи, то в теории оптимальных приемников мы будем считать, что она является стационарным случайным процессом нормального (гауссова) типа со средним значением, равным нулю

и произвольной функцией корреляции

которая полностью определяет статистические свойства помехи (см. гл. IX). Нормальный характер помехи позволяет сравнительно просто вычислять различные вероятности, связанные с помехой, поскольку мы опираемся на распределения Гаусса. Стационарность помехи не очень важна

в общих рассуждениях, однако лишь для стационарных помех удается в большинстве задач довести исследование до выводов, которые могут быть эффективно использованы на практике.

Данные предположения о свойствах помехи позволяют охватить ряд помех, представляющих технический интерес, в частности собственные шумы приемника и радиолокационные помехи, обусловленные хаотическими отражениями (см. гл. IX и XI).

Начнем рассмотрение простого обнаружения со случая, когда входной процесс нам известен только в дискретные моменты времени

Значения мы будем обозначать через и называть выборками входного процесса или элементами входной последовательности. Аналогично вводим выборки полезного сигнала и помехи по формулам

Очевидно, что формула

примет вид

Итак, если за время наблюдения мы сделали выборок, то корреляционная матрица помехи будет иметь элементы

Она обладает следующими особенностями: по главной диагонали стоят элементы имеющие наибольшую абсолютную величину; элемент, стоящий на столбцов левее или правее главной диагонали, равен

Обратная матрица удовлетворяет соотношению

где символ Кронекера, равный 1 при и 0 при Элементы этой матрицы определяются соотношением

где есть детерминант, соответствующий корреляционной матрице, адьюнкта (алгебраическое дополнение) элемента Обратная матрица как и прямая матрица, симметрична

однако ее элементы в общем случае зависят от а не только от.

Найдем коэффициент правдоподобия (29.10). Считая помеху нормальной, мы можем сразу написать многомерную плотность вероятности для выборок в виде [см. формулу (59.13)]

Это -мерное распределение Гаусса.

Плотность вероятности величин при отсутствии сигнала когда равна

Плотность вероятности тех же величин при наличии сигнала, когда равна

Коэффициент правдоподобия, равный

для гауссова распределения (31.11) принимает следующий вид

Если ввести обозначения

то коэффициент правдоподобия будет равен

где от входной последовательности зависит только величина причем есть монотонно возрастающая функция Поэтому оптимальный приемник может образовывать не величину А, а более простую величину и принимать решения основании этой последней. Тогда оптимальное правило решения будет

где — порог решения.

Исследуем величину подробнее. Ее можно записать так

где коэффициенты равны

Формула (31.20) показывает, что операция образования из является линейной, т. е. оптимальный приемник простого обнаружения при нормальных помехах является линейным приемником, причем коэффициенты зависят как от формы сигнала (от выборок ), так и от корреляционных свойств помехи (от элементов обратной корреляционной матрицы).

Обычно известна функция корреляции, а следовательно, и корреляционная матрица помехи Задача нахождения обратной матрицы при большом числе элементов является довольно громоздкой. Поэтому для фактического вычисления коэффициентов можно воспользоваться уравнениями

которые нетрудно получить из соотношений (31.21). Эти выражения совпадают с формулами (26.25) и (26.26). если в последних положить Таким образом, формулы (31.21) определяют оптимальный линейный фильтр, обнаруживающий последовательность известной формы на фоне случайной последовательности имеющей характер помехи. Оптимальный приемник обнаружения полностью известного сигнала на фоне нормальных помех состоит, как мы видим, из оптимального линейного фильтра, рассмотренного в первой части книги (§ 27), и решающей схемы, работающей по правилу (31.19). Этим самым мы установили связь между теорией оптимальных фильтров, изложенной в I части, и статистической теорией оптимальных приемников. В дальнейшем мы увидим, что эта связь не ограничивается данным случаем и имеет широкое значение.

В I части мы показали, что действие оптимального линейного фильтра для сигналов известной формы можно характеризовать отношением сигнал/помеха (по мощности) на выходе этого фильтра. Нетрудно видеть, что этот параметр, обозначенный ранее через согласно формулам (26.21), (26.22) и (26.23) равен

и, в частности, для белого шума (некоррелированной помехи, мы имеем

Формула (27.15) позволяет дать простое спектральное представление для параметра а именно

где есть спектральная интенсивность помех. Это выражение в случае белого шума принимает вид

где есть полная энергия полезного сигнала, спектральная интенсивность шума. Формулу (31.26) нетрудно получить из формулы (31.24), если воспользоваться соотношением

вытекающим из общего выражения (27.02) для спектральной интенсивности, в котором нужно положить при

Полагая нетрудно в выписанных выше формулах перейти от последовательностей к непрерывным процессам. Мы не будем приводить здесь соответствующих выражений, поскольку они уже неоднократно нам встречались (см. § 16, 17, 26 и 27).

В теории линейных фильтров смысл параметра оставался не вполне ясным. Очевидно, что качество обнаружения тем выше, чем больше однако только в статистической теории приема параметр имеет четкий количественный смысл. В частности, параметр можно связать с вероятностью правильного обнаружения.

Оптимальный приемник, осуществляющий обнаружение полностью известного сигнала, работает по правилу (31.19). Вероятности ложной тревоги и правильного обнаружения определяются порогом и распределением плотности вероятности величины которая, являясь линейной комбинацией нормальных случайных величин сама будет иметь нормальное распределение. Найдем параметры этого распределения.

Если мы принимаем одну помеху, то

в силу формулы (31.01). Дисперсия случайной величины равна

Если на входе мы имеем "полезный сигнал и помеху, то

а дисперсия равна

Плотность вероятности величины при отсутствии полезного сигнала равна

а при его наличии

Вероятность ложной тревоги равна вероятности превышения порога величиной при наличии одной помехи

На рис. 26 сплошной линией приведена зависимость нормированного порога от вероятности ложной тревоги Вероятность правильного обнаружения равна

Задавшись вероятностями можно найти необходимое отношение сигнал/помеха по формуле

где определяются по формулам (31.34) и (31.35) соответственно. Исключая из (31.34) и (31.35) параметр получим функцию

которую называют характеристикой оптимального приемника обнаружения (в данном случае — приемника простого обнаружения). Функция удовлетворяет следующим соотношениям

и

Рис. 26. Зависимость порога от вероятности ложной тревоги: сплошная кривая — для полностью известного сигнала, пунктирная кривая — для сигнала с неизвестной фазой.

Последнее соотношение выполняется, для всех оптимальных приемников обнаружения и часто облегчает вычисление вероятности Соотношение (31.39) можно всего проще вывести, дифференцируя интегралы (31.34) и (31.35)

откуда

(кликните для просмотра скана)

Учитывая, что коэффициент правдоподобия равен

мы и получаем соотношение (31.39). На рис. 27 приведена зависимость от при фиксированных значениях , а на рис. 28 даны те же зависимости (сплошными линиями), но по оси абсцисс отложено в децибелах.

Если величина по которой мы принимаем решение (31.19) получена при помощи линейного, но не оптимального фильтра, то для достижения того же при заданном необходимо обеспечить большие значения параметра В этом случае вероятность ложной тревоги может быть найдена по формуле

где

есть дисперсия помехи на выходе данного линейного фильтра. Вероятность правильного обнаружения равна

где 9 есть среднее значение полезного сигнала на выходе, а

— его дисперсия.