ПРИЛОЖЕНИЕ III. О ПАРАДОКСАХ В ТЕОРИИ ОБНАРУЖЕНИЯ

В статье Слепяна "Некоторые комментарии к обнаружению гауссовых сигналов в гауссовых шумах доказывается следующая математическая теорема, которую мы здесь сформулируем, пользуясь обозначениями данной книги. Пусть рассматривается обнаружение стационарного случайного процесса (сигнала) на фоне стационарного случайного процесса (помехи), т. е. решается вопрос о том, содержит ли входной процесс , известный в интервале сигнал или не содержит или Предполагается, что оба процесса являются нормальными (гауссовыми) процессами с равными нулю средними значениями и известными спектральными интенсивностями не равными тождественно друг другу. Если интенсивность является рациональной функцией со или тождественно исчезает вне некоторой конечной полосы частот, а интенсивность также является рациональной функцией или тождественно исчезает вне конечной полосы частот и если при рациональных функциях выполняется соотношение

то существует правило решения, использующее входной процесс при и обеспечивающее вероятность ложной тревоги и вероятность правильного обнаружения -любое наперед заданное число. Эта теорема справедлива для произвольно малого

Отсылая читателя за деталями доказательства и литературными ссылками к цитированной статье, дадим лишь идею доказательства. Если удовлетворяются соотношения то случайные функции являются сингулярными (ср. § 13). Можно доказать, что для

определения этих функций во всем бесконечном интервале и точного вычисления их корреляционных функций и спектральных интенсивностей достаточно знать их поведение в любом конечном интервале О а спектральные интенсивности позволяют, разумеется, произвести обнаружение вполне достоверным образом (с вероятностями

Если спектральные интенсивности являются рациональными функциями удовлетворяющими при асимптотическим соотношениям

причем при в силу соотношения (III.01) постоянная а должна отличаться от постоянной то обнаружение можно производить по величине

Оказывается, что величина при достаточно большом с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, сколь угодно мало отличается от или нуля (при , что и позволяет доказать теорему для рациональных функций Та же величина (III.04) позволяет произвести однозначное различение случайного процесса с рациональной спектральной интенсивностью случайного процесса со спектральной интенсивностью равной нулю при

Формулировка рассмотренной выше теоремы может быть значительно расширена. В частности, вместо простых разностей производных в формуле (III.04) можно брать разности порядка для самой функции в последнем случае используются лишь выборки функции в моменты Далее можно считать, что теорема справедлива для любой пары сингулярных процессов т. е. вместо

соотношений (III.03) требуется лишь достаточно быстрое исчезание функций на бесконечности (см. § 13). Рациональность функций также несущественна, важно лишь, чтобы они были ограничены при вещественных со и удовлетворяли асимптотическим соотношениям (III.03) и (111.01). Рассматриваемые случайные процессы не обязательно должны быть нормальными, по крайней мере, если они сингулярны.

Поскольку обнаружение по коэффициенту правдоподобия является оптимальным гл. V и приложение I), то при условиях, сформулированных выше, правило решения (35.10) должно приводить к таким же значениям или даже лучшим. Однако непосредственное вычисление (вероятностей затруднительно.

Парадоксальность данной теоремы с физической и технической точки зрения заключается в том, что она позволяет производить уверенное обнаружение сколь угодно слабого случайного сигнала на фоне сколь угодно сильной помехи за сколь угодно короткий промежуток времени На основании этой теоремы Слепян приходит к выводу, что существующая математическая теория обнаружения сигналов на фане помех неадэюватна задачам обнаружения, представляющим интерес для техники, и должна быть дополнена, по крайней мере, в двух отношениях: 1) следует отказаться от утверждения, что нам точно известны спектральные интенсивности всех случайных процессов, фигурирующих в задаче; 2) следует отказаться от утверждения, что мы точно знаем входной процесс в непрерывном временном интервале или в дискретные моменты времени сколь угодно часто расположенные на оси времени.

Если эти дополнения действительно необходимы, то следовало бы, во-первых, отказаться от обычной статистической теории обнаружения, изложенной в данной книге, и, во-вторых, приступить к построению новой теории, которая неизбежно будет более сложной. На самом деле данная теорема не приводит к столь радикальным выводам, и все возникающие парадоксы могут быть легко разъяснены в рамках существующей теории.

При анализе данной теоремы мы будем для простоты предполагать, что процессы некорредированы, так что

и условие (111.01) имеет вид

Таким образом, данная теорема справедлива либо тогда, когда процесс или оба «процесса сингулярны, Либо тогда, когда регулярный процесс является не менее широкополосным, чем помеха когда при достаточно высоких частотах спектральная интенсивность полезного сигнала сравнима со спектралыной интенсивностью помехи или превосходит последнюю. Если же считать, что спектр помехи шире спектра сигнала, то теорема несправедлива, все парадоксы исчезают и теория обнаружения приводит к выводам, согласующимся со здравым смыслом и инженерной практикой.

Понятие стационарного случайного процесса возникло в математике в результате обобщения таких явлений, как шумы в электрических цепях и другие флюктуационные процессы, и затем применялось к полезным сигналам, носящим случайный характер (телеграфные сигналы, телефонный разговор, радиопередача и т. д.). Однако математическое понятие стационарного случайного процесса оказывается более широким, чем это кажется на первый взгляд. При исследовании прогнозирования стационарных случайных процессов в. гл. II мы встретились с тем обстоятельством, что лишь для регулярных случайных процессов теория прогнозирования приводит к результатам, осмысленным с практической точки зрения. Что же касается сингулярного случайного процесса, то он не имеет своего прообраза ни в случайных полезных сигналах, ни в помехах. Действительно, сингулярный процесс, в котором «прошлое» однозначно определяет все «будущее», не несет в себе никакой новой информации и вместе с тем не создает помехи для обнаружения, например, сколь угодно слабого сигнала конечной длительности, поскольку сингулярный процесс можно однозначно экстраполировать в конечный интервал времени, где может появиться сигнал вычесть из входного процесса и тем самым с полной достоверностью выделить или констатировать его отсутствие. Поэтому та часть сформулированной выше теоремы, которая относится к обнаружению стационарного случайного процесса (регулярного или сингулярного) на фоне помехи являющейся сингулярным случайным процессом, является с теоретической точки

зрения вполне естественной и вместе с тем ни к каким практическим выводам привести не может.

Однако случайные процессы с рациональными спектральными интенсивностями являются регулярными (см. гл. II) и относящаяся к ним часть теоремы нуждается в более подробном анализе. Из формулы (III.03) видно, что в данном случае обнаружение производится по величине в которую входят разности при малых разностях аргументов (поскольку предполагается достаточно большим). При образовании этих разностей (а также при вычислении пооизводной при как известно, исчезают знаки, так что, измеряя с некоторой (случайной) погрешностью и производя вычисления с конечным числом знаков, соответствующим этой погрешности, мы находим со случайной ошибкой, неограниченно растущей при Это обстоятельство не поззоляет практически использовать возможности, заложенные в сформулированной выше теореме, и как будто заставляет ввести в теорию обнаружения дополнительное положение о неточном знании входного процесса

В действительности несистематические ошибки при измерении значений носят характер дополнительного белого шума, накладывающегося на данный процесс, поскольку они случайны и статистически независимы. Ошибки, возникающие при округлении значений в числовых расчетах с фиксированным числом знаков, также можно рассматривать как белый шум. Эти «измерительные» и «математические» белые шумы являются нормальными (гауссовыми), и их можно просто включить в помеху маскирующую наличие полезного сигнала Точно также мы «выносим» собственные шумы приемника, обрабатывающего и дополнительно искажающего данный нам процесс включая собственные шумы в общую помеху

Высказанные выше соображения показывают, что в помехе (всегда имеется некоторая примесь белых шумов, которые могут быть обусловлены, с одной стороны, физическими причинами (шумящие сопротивления, дробовой эффект и т. д., ср. § 61), а с другой стороны, позволяют учесть ошибки при воспроизведении, измерении и

обработке входных данных. Спектральйая интенсивность 50 этих белых шумов в основной части спектра помех может быть весьма малой, однако при достаточно высоких частотах она имеет основное значение, так что

и условие не может выполняться, поскольку при конечной интенсивности полезного сигнала

функция при Образовывая величину при мы будем получать основной вклад от белых шумов, некоррелированных от выборки к выборке, а все остальные слагаемые в функции более медленно меняющиеся во времени, сойдут на нет в результате вычитания. Таким образом, теорема перестает быть верной и все сзязанные с ней парадоксы исчезают.

В § 13 мы указали, что примесь белого шума к сингулярному случайному процессу приводит к регулярному процессу. Из вышеизложенного следует, что учет неизбежной (хотя, может быть, и весьма малой) примеси белого шума избавляет также теорию обнаружения от парадоксов.

При обнаружении сигнала известной формы на фоне стационарного случайного процесса—помехи возникают аналогичные парадоксы. Если для простоты считать, что наблюдение входного процесса производится при то результат оптимальной линейной обработки можно характеризовать параметром

— отношением сигнал/помеха на выходе оптимального фильтра [ср. формулы (16.15) и (31.25)]. Здесь спектральная амплитуда сигнала спектральная интенсивность помех. Если сигнал является, например, прямоугольным импульсом, то функция при убывает, как формулы (20.03) и (20.06)]. Для сингулярной помехи функция

при убывает гораздо быстрее, поэтому интеграл (III.09) расходится и дает что соответствует вполне достоверному обнаружению сколь угодно слабого сигнала. Такое же обнаружение можно произвести не только с помощью оптимального фильтра, а путем экстраполяции помехи (см. выше) и другими способами.

Значение может получиться и тогда, когда помеха является регулярным случайным процессом. Если, например, при со функции удовлетворяют асимптотическим соотношениям

аналогичным соотношениям (III.03), то по формуле (111.09) мы получаем

Другой пример такого типа был рассмотрен в § 21. Если помехи обусловлены хаотическими отражениями от многочисленных местных предметов, то согласно формуле

так что можно обеспечить при сколь угодно слабом сигнале, как в сформулирозанной выше теореме.

Мы приходим к парадоксальным результатам потому, что не учитываем белых шумов, всегда накладывающихся в той или иной степени на входной процесс (см. выше). Обозначая через 50 спектральную интенсивность белого шума, мы, например, вместо формулы (III.11) должны написать выражение

и тогда параметр будет конечным (см. § 21). В общем случае, полагая

мы по формуле (III.09) получим конечное значение если энергия сигнала

Заметим в заключение, что вместо постоянной спектральной интенсивности белых шумов можно ввести функцию постоянную в достаточно широком интервале частот и достаточно медленно убывающую при Учет "быстрого" нормального шума, имеющего спектральную интенсивность приводит статистическую теорию обнаружения в соответствие с действительностью и, в частности, избавляет ее от парадоксальных следствий.