§ 35. ОБНАРУЖЕНИЕ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА (ПОЛЕЗНОГО СИГНАЛА) НА ФОНЕ ДРУГОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА (ПОМЕХИ) ПРИ ЗАДАННЫХ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ СВОЙСТВАХ ОБОИХ ПРОЦЕССОВ

Задача об обнаружении случайного сигнала с заданной функцией корреляции на фоне случайных помех при переходе к выборкам сводится к задаче об обнаружении одной случайной последовательности на фоне другой случайной последовательности. Будем считать, что как полезный сигнал, так и помеха являются нормальными стационарными случайными процессами со средними значениями, равными нулю и заданными корреляционными функциями для полезного сигнала и

для помехи. Тогда задача ставится следующим образом: на основании имеющейся последовательности надо решить, является ли она смесью полезного сигнала и помехи или чистой помехой

По классификации § 28 это — сложное обнаружение полезного сигнала неизвестными параметрами

Коэффициент правдоподобия при фиксированных значениях равен

где есть плотность вероятности для величин (35.01). Чтобы найти коэффициент правдоподобия нужно проинтегрировать выражение (35.02) по неизвестным параметрам (35.01)

Однако в данном случае, можно найти проще. Плотность вероятности величин при условии, что входной сигнал сводится к одной помехе в силу формулы (31.11) равна

где элементы матрицы, обратной корреляционной матрице имеющей определитель

Плотность вероятности величин при условии, что входной сигнал состоит из полезного сигнала и помехи Равна

где есть корреляционная функция суммы элементы матрицы, обратной Если считать,

что полезный сигнал и помеха независимы то

Коэффициент правдоподобия А для задачи об обнаружении равен

где

и

Решение можно принимать по величине поскольку есть монотонно возрастающая функция Формула (35.08) показывает, что оптимальный приемник обнаружения шумоподобного сигнала является нелинейным устройством, образующим квадратичную форму (35.08). Оптимальное правило решения будет иметь вид:

где порог решения.

Рассмотрим несколько частных случаев оптимального приемника.

1. Обнаружение некоррелированной последовательности на фоне другой некоррелированной последовательности. В этом случае элементы корреляционных матриц помехи и полезного сигнала удовлетворяют следующим соотношениям

где символ Кронекера. Величина равна

В данном случае оптимальный приемник должен суммировать квадраты выборок входного сигнала. Пользуясь формулой (31.27), мы приходим к выражению

2. Обнаружение коррелированной последовательности на фоне сильной некоррелированной последовательности. Корреляционные матрицы имеют следующий вид:

Считая мы можем написать следующие приближенные выражения для элементов обратной матрицы

удовлетворяющие соотношениям

с погрешностью порядка . В этом приближении мы получаем выражение

Если в нем положить то получим формулу (35.12), в которой в знаменателе заменено на

3. Обнаружение случайной последовательности на фоне сильно коррелированной (медленно меняющейся) последовательности. Корреляционные матрицы имеют вид

Тогда элементы обратной матрицы помехи велики, и общую формулу (35.08) можно записать в виде

Зададим матрицу в виде

Элементы обратной матрицы будут равны

остальные равны нулю.

Формулы (35.21) можно получить, вычисляя обратную матрицу по общему правилу [см. формулу (31.09)]. Всего легче они проверяются простой подстановкой в соотношение (31.08). Запишем элемент обратной матрицы (35.21) в общем виде

При подстановке выражений (35.20) и (35.22) в формулу (31.08) имеем

что при дает нам

а при

Заметим, что обратная матрица (35.21), как и прямая (35.20), является симметричной, но ее элементы зависят от

g и h, а не от как элементы прямой матрицы. Впрочем, выражения

дают неправильный результат только при Это значит, что зависимость элементов обратной матрицы от индексов в отдельности представляет собой «краевой эффект, связанный с концами промежутка наблюдения.

Возвращаясь снова к формуле (35.19) и считая получаем

т. е. оптимальной обработкой является квадратичное накопление последовательных разностей.

Найдем вероятность ложной тревоги и правильного обнаружения Будем считать, что не только число выборок велико, но среди них велико и число статистически независимых выборок, поэтому естественно воспользоваться предельной теоремой теории вероятностей и считать, что величина (35.08) имеет нормальное распределение.

Среднее значение случайной величины при отсутствии полезного сигнала равно

Среднее значение случайной величины при наличии на входе полезного сигнала равно

Если воспользоваться формулой (58.11)

то дисперсия величины при отсутствии полезного сигнала получается равной

а при наличии полезного сигнала

При отсутствии полезного сигнала функция распределения случайной величины 5 равна

а при наличии полезного сигнала

Вероятность ложной тревоги равна

а вероятность правильного обнаружения

При расчетах по формулам (35.35) и (35.36) нужно иметь, в виду, что. нормальные распределения (35.33) и (35.34) при данном числе выборок (которое предполагается достаточно большим и содержащим достаточно большое число практически независимых случайных величин хорошо аппроксимирует точные функции

распределения вблизи центров распределения а при увеличении точность этих формул снижается. Поэтому при вычислении как малых так и близких к единице, формулы (35.35) и (35.36), как правило, дают довольно грубые результаты. Более точные расчеты можно производить, по крайней мере для некоррелированных последовательностей, с помощью распределения (ср. § 38 и 45).

При слабом сигнале (точнее, при условии вместо прямых расчетов по формулам (35.35) и (35.36) можно воспользоваться характеристиками простого обнаружения, если определить — эффективное значение отношения сигнал/помеха данной задачи — по формуле (31.36), т. е.

причем это соотношение годится лишь при малых

Рассмотренная выше задача об обнаружении случайного сигнала на фоне мешающего случайного процесса приводит к «квадратичному» оптимальному приемнику (35.08). Поэтому данную задачу нельзя было решить в теории оптимальных линейных фильтров, в противоположность задаче об обнаружении сигнала фиксированной формы, которую мы по существу решили в I части и лишь уточнили в предыдущих параграфах.

В приложений III читатель найдет разбор некоторых парадоксов, возникающих в связи с задачами, рассмотренными в этой главе.