§ 65. ПРЕДЕЛЬНЫЕ СЛУЧАИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

В этом параграфе мы рассмотрим модуляцию с помощью нормального процесса, спектр которого подобен спектру, изображенному на рис. 5. Если определить время корреляции и ширину спектра для модулирующего процесса с помощью соотношений

введенных еще в § 3 и упрощающихся в силу того, что здесь то и будут связаны соотношением

В § 63 вычисление спектра модулированных колебаний сведено к квадратурам. Однако вычисление соответствующих

интегралов сопряжено с трудностями, поскольку функция и определяемые через нее функции и обычно сложны. Между тем, при малых х эти функции приближенно равны

а при больших х

Использование приближенных выражений (65.03) эквивалентно предположению о бесконечно малой ширине спектра модулирующих колебаний

Формула (63.10) при этом дает

а формула (63.12)

В обоих случаях оказывается, что на спектральную интенсивность наличие или отсутствие ФМ не влияет. Это явление, характерное для «квазистатической» модуляции, определяемой формулами (65.05). Действительно, «бесконечно медленное» изменение фазы не должно влиять на спектральную интенсивность. При этих же условиях

ширину спектра, равную определяет только ЧМ, и действие AM сказывается лишь в смещения максимума функции от частоты к частоте

но не изменяет ширины спектра. Для экспоненциальной модуляции формула (65.08) является точной, а для линейной — приближенной (она справедлива при 1).

Выражения (65.06) и (65.07) нетрудно получить из элементарных соображений. Для простоты разберем ЧМ без Каждому значению х, изменяющемуся во времени достаточно медленно, соответствуют частоты

интенсивность каждой из которых равна Поэтому интенсивность спектра при квазистатической модуляции дается формулой

откуда

что совпадает результатами, полученными выше, при

Как показывает более точный анализ исходных выражений (63.10), (63.12) и (63.25), формулы (65.06) и (65.07) справедливы при условии, что параметр

велик по сравнению с единицей. Тогда ширина получающегося спектра

оказывается гораздо больше ширины спектра модулирующих флюктуаций.

В противоположном случае, когда в интегралы (63.25) можно подставлять приближенные выражения (65.04) и, например, для линейной AM мы получаем

При дополнительном условии функция принимает вид

откуда следует, что в предельном случае и ФМ не влияют на форму спектра, и ширина получающегося спектра

мала по сравнению с