§ 32. СЛОЖНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛА С НЕИЗВЕСТНОЙ АМПЛИТУДОЙ

В предыдущем параграфе было рассмотрено обнаружение сигнала, полностью известного. Обычно, однако, те или иные параметры сигнала неизвестны и оптимальный приемник приходится строить в соответствии с формулой (29.23), а окончательное решение принимать по правилу (30.12). В этом и последующих параграфах данной

главы мы рассмотрим, наиболее элементарные случаи сложного обнаружения.

Пусть полезный сигнал известен с точностью до постоянного множителя который мы в дальнейшем будем называть амплитудой.

Запишем полезный сигнал в виде

где известная функция времени. Рассмотрим, как и в случае простого обнаружения, дискретные выборки за время наблюдения. Обозначим выборку из полезного сигнала в момент через

Коэффициент правдоподобия при нормальных помехах в силу формул (29.24) и (31.18) равен

где определяются выражениями есть плотность вероятности амплитуды Подставляя в эти выражения значения по формуле (32.02), получим

где и определяются формулами

Усредненный коэффициент правдоподобия равен

Он и определит вид оптимального приемника. Поскольку в выражении (32.06) от принятого сигнала зависит только величина 9, причем есть монотонно возрастающая функция 9, то решение о наличии или отсутствии полезного сигнала можно принимать по величине 9. Учитывая, что параметр может принимать как положительные, так и

отрицательные значения, правило решения запишем в виде

Найдем вероятность ложной тревоги и вероятность правильного обнаружения для случайной амплитуды, распределенной по нормальному закону, т. е. при

где мы нормировали амплитуду так, что

Случайная величина при отсутствии полезного сигнала очевидно имеет распределение (31.32), а в присутствии полезного сигнала она также нормальна, причем при усреднении по помехе фиксировано) имеет моменты

и ее распределение определяется формулой

Распределение при наличии полезного сигнала получается путем усреднения величины (32.11) по случайному параметру а именно

Учитывая как положительные, так и отрицательные амплитуды полезного сигнала, выражение для полной вероятности правильного обнаружения можно записать так

а для вероятности ложной тревоги

откуда при заданных отношение сигнал/помеха можно вычислить по формуле

На рис. 28 пунктирными линиями приведены характеристики обнаружения для сигнала с неизвестной амплитудой, распределенной по нормальному закону. Сравнение кривых для полностью известного сигнала и сигнала с неизвестной амплитудой показывает, что достоверное обнаружение достигается легче при известной амплитуде полезного сигнала, и наоборот недостоверное обнаружение легче совершается при неизвестной амплитуде.

Этот результат совершенно понятен с физической точки зрения: при малых благодаря своим флюктуациям амплитуда сигнала может стать в некоторых случаях большой, в силу чего произойдет правильное обнаружение — более успешное, чем при фиксированной амплитуде; при больших [а благодаря флюктуации амплитуда сигнала может стать малой — и сигнал будет пропущен легче, чем при постоянной амплитуде. С аналогичными эффектами мы будем неоднократно встречаться в дальнейшем.