ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ФИЛЬТРОВ

ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

§ 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Задача об отделении полезных сигналов от помех различного типа может быть поставлена по-разному. В этой и следующей главах мы будем рассматривать сигнал и помеху как случайные процессы. Тогда наибольший интерес для нас представляет задача о фильтрации, т. е. задача о выделении сигнала в наиболее «чистом» виде из его «смеси» с помехой. Физически ясно, что полное отделение сигнала от помехи может быть достигнуто лишь при радикальном различии их свойств; в общем случае, как мы увидим далее, даже оптимальный фильтр воспроизводит полезный сигнал с некоторой ошибкой.

Иногда задачу о фильтрации целесообразно понимать шире. Например, часто представляет интерес не сам сигнал, а его производная или интеграл по времени; тогда соответствующий фильтр следует подобрать таким образом, чтобы он воспроизводил (с наименьшей ошибкой) продифференцированный или проинтегрированный полезный сигнал. Представляет также интерес задача о прогнозировании или экстраполяции сигнала, т. е. задача о предсказании будущих значений сигнала на основе его поведения в прошлом и его статистических свойств. Задача об экстраполяции сигнала имеет смысл как при наличии помех, так и при их отсутствии.

Математически задача фильтрации может быть сформулирована следующим образом. Пусть на вход некоторой системы К (фильтра) поступает смесь полезного сигнала с помехой так что

где данный процесс (сумма сигнала и помехи), или входная функция времени Как полезный сигнал так и помеха предполагаются случайными процессами (случайными функциями

Система К производит над функцией некоторые математические операции, в результате чего на выходе получаем функцию ((выходная функция). Схематически это изображено на рис. 1.

Рис. 1. Схематическое изображение фильтра К.

Можно сказать, что выходная функция есть результат применения некоторого оператора К к входной функции Возникает задача о гаком подборе оператора К, чтобы на выходе получить некоторую функцию с наименьшей ошибкой воспроизведения. Функция есть полезный сигнал в некоторой преобразованной форме, так что можно записать

где известный математический оператор. В задаче о простой фильтрации нужно воспроизвести полезный сигнал; в этом случае

и L есть «единичный» оператор, оставляющий функцию без изменений.

Разность

можно назвать мгновенной ошибкой воспроизведения.

Ясно, что значения будут колебаться с течением времени. «Интенсивность» этих колебаний можно характеризовать средним значением (математическим ожиданием) ее квадрата, обозначаемым через Тем самым в теорию вводятся статистические (вероятностные) представления, причем статистически рассматривается не только помеха, но и полезный сигнал.

Когда помеха отсутствует то представляет интерес лишь задача о прогнозировании — о предсказании сигнала через некоторый промежуток времени В этой задаче

Прогноз может быть осуществлен или по всему «прошлому» функции или по части прошлого. В том и другом случае опираются на статистические свойства функции Обычно предполагают, что они заданы заранее — известны из предыдущих статистических исследований данного случайного процесса или подобного ему.

Наиболее важные статистические характеристики случайного процесса это среднее значение и корреляционная функция определяемая формулой

При формула упрощается и принимает вид

Корреляционная функция в какой-то степени характеризует статистическую связь между значением функции в моменты времени причем может быть и положительным и отрицательным. В самом деле, если значения можно считать статистически независимыми, то среднее значение произведения в формулах (1.06) и (1.07) равно произведению средних значений, а это дает Наоборот, для нормальных случайных процессов из равенства следует статистическая независимость (см. гл. IX). Более полно статистическая связь характеризуется отношением коэффициентом корреляции.

В дальнейшем мы будем считать, что средние значения всех рассматриваемых функций тождественно равны нулю. Это не ограничивает общности: если, например, то мы вводим новую случайную функцию и вместо рассматриваем Действительно, если с помощью функции передается некоторое сообщение, то среднее значение никакой информации не переносит и по существу роли не играет. При отсеивании помехи важно уметь бороться лишь с колебаниями вокруг среднего значения поскольку известный средний уровень помех подавляется без всякого труда.

Функцию называют также функцией автокорреляции случайной функции (процесса) в отличие

от взаимной корреляционной функции, которая будет введена дальше.

При увеличении статистическая связь между значениями вообще говоря ослабевает и в пределе при стремится к нулю, так что эти два значения становятся статистически независимыми. Поэтому функция корреляции стремится при к нулю и принимает наибольшее значение, когда (см. ниже § 3).

Случайный процесс можно характеризовать и более сложными величинами — вероятностями того, что в моменты соответствующие значения лежат в определенных интервалах. Однако в проблемах линейной фильтрации и линейного прогнозирования эти вероятности не нужны, поскольку все определяется функциями корреляции.

Выше мы неявно предполагали, что случайный процесс однороден во времени, или стационарен, поэтому зависит только от но не от Именно в силу однородности процесса во времени все средние значения — и т. д. должны быть независимыми от момента . В частности, мы должны иметь

Из последних соотношений вытекает важное свойство автокорреляционной функции любого случайного процесса ее четность

Нас будет интересовать больше всего задача отфильтровывания помех. В связи с этим мы рассмотрим три типа фильтров.

Фильтр I типа работает так. Входной процесс записывается (запоминается) в течение некоторого времени (теоретически при а потом обрабатывается, т. е. подвергается какой-то математической операции, в результате которой на выходе системы мы получаем функцию Такой фильтр можно уподобить счетнорешающему устройству, которое записывает, обрабатывает и дает результаты в виде кривой или таблицы.

В фильтре II типа запись сигнала, его обработка и выдача не разделены во времени (по крайней мере значительно), а происходят непрерывно, и выходная функция вырабатывается по мере поступления входных данных основании значений функции во все предыдущие моменты. Фильтр II типа может быть тоже счетнорешающим устройством. В принципе он может быть осуществлен и без счетнорешающей техники, как обычный радиотехнический (частотный) фильтр. В частности, линейный фильтр II типа может быть осуществлен в виде схемы, составленной из сопротивлений, индуктивностей и емкостей. Тогда, например, есть напряжение на входе, на выходе искомого четырехполюсника, К — соответствующий ему оператор. Для линейных систем оператор К просто связан с частотной характеристикой четырехполюсника (см. § 2).

Преимущества фильтра II типа — простота изготовления, большая скорость выдачи данных. Преимущества фильтров I типа — более полное использование входного сигнала и, следовательно, более эффективное «отсеивание» помех. Сравнение обоих способов фильтрации (обоих фильтров) будет дано в гл. II; заметим, что резкой границы между ними нет (см. конец § 14).

Таким образом, для образования фильтр I типа использует значения при всех возможных значениях а именно:

в то время как фильтр II типа использует полубесконечный интервал времени

т. е. настоящий момент и все "прошлое Фильтром III типа можно назвать устройство, использующее лишь конечный интервал, относящийся к прошлому,

т. е. имеющее «память» конечной длительности Теорию фильтров III типа мы в дальнейшем рассматривать не будем.

Проблема фильтрации часто соединяется с задачей о прогнозировании полезного сигнала [формула (1.05)] с наименьшей ошибкой. Эта проблема тем более актуальна, что фильтрация требует времени, после которого полученные данные могут уже устареть. Прогнозирование в

какой-то степени компенсирует потерю времени на фильтрацию. Ясно, что проблема прогнозирования возникает только в теории фильтров II и III типа, поскольку для фильтров I типа прогнозирование не отличается от фильтрации.

В дальнейшем мы будем рассматривать линейные фильтры, осуществляющие над входным процессом только линейные операции. Другими словами, мы будем искать наилучшую преобразующую систему с линейным оператором К- Его можно записать в интегральном виде следующим образом:

или

Из этих формул видно, что значение на выходе преобразующей системы линейно комбинируется из значений входной функции во все моменты времени. Точнее, при образовании в момент по формуле (1.11) используются значения в предыдущие и последующие моменты времени, причем эти значения используются с «весом» зависящим от разности Фильтр, работающий по формуле (1.10) или называют стационарным линейным фильтром. Он обладает следующим свойством: если функции соответствует некоторая функция то функции соответствует функция т. е. при сдвиге входной функции по оси времени выходная функция сдвигается точно так же. Ясно, что в проблемах фильтрации стационарных случайных процессов, не изменяющих своих свойств при временных сдвигах, фильтры также должны быть стационарны. Нестационарному линейному фильтру соответствует более общее линейное преобразование вида

которое мы в дальнейшем рассматривать не будем.

Заметим, что формулы (1.10) — (1.12) не являются еще самой общей записью линейного преобразования. Действительно, например, в тривиальной задаче о фильтрации при условии мы имеем и оптимальный фильтр

производит тривиальную операцию с нулевой ошибкой. Однако эту операцию можно записать в интегральном виде только с помощью несобственной функции, так называемой дельта-функции обладающей свойствами

для любой функции Полагая мы и получим по формуле (1.10) Однако использование несобственных функций часто нежелательно. Представление теории фильтрации в виде, исключающем применение несобственных функций, будет дано в § 5.

Для фильтра II типа функция должна удовлетворять соотношению

и вместо формул (1.10) и (1.11) мы будем иметь

Для фильтра III типа

так что

Вводя функцию

можно переписать формулу (1.17) так:

Интегралы (1.19) являются аналогом взаимной корреляционной функции (ср. далее § 2), причем в них

произведение фиксированной функции на случайную функцию не усредняется, а интегрируется по времени; с подобными выражениями мы встретимся в гл. III.

Таким образом, линейный фильтр III типа является своеобразным коррелятором — прибором, дающим результат интегрирования произведения двух функций за промежуток времени заданной функции и входной функции Фильтры I и II типа совершают ту же операцию по бесконечному промежутку времени, как это показывают формулы (1.10) и (1.15).