§ 56. ЗАДАЧА О РАЗЛИЧЕНИИ M ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИГНАЛОВ

Выше мы исследовали измерение непрерывного параметра при наличии нормальных помех. В этом параграфе мы рассмотрим аналогичную задачу для дискретного параметра. Последняя задача является более простой и поэтому позволяет получить более полное решение, которое имеет самостоятельный интерес и вместе с тем дает возможность выяснить некоторые вопросы, относящиеся к измерению непрерывного параметра.

Пусть опять мы знаем заранее, что полезный сигнал присутствует, но его дискретный параметр могущий принимать значений

неизвестен и требуется его определить. Иначе говоря, известно, что на входе присутствует какой-то из сигналов и нужно различить, какой именно сигнал присутствует в принимаемой функции

Если мы интересуемся обнаружением каждого из сигналов в отдельности, то мы должны исходить из соответствующего коэффициента правдоподобия Если сигналы имеют неизвестную случайную фазу, то согласно § 33 коэффициент равен

и если амплитуда также случайна и распределена по закону Релея, то согласно § 34

При написании выражений (56.03) и (56.04) мы воспользовались формулой (29.38), несколько изменив обозначения. Здесь априорная вероятность появления сигнала эффективное отношение сигнал/помеха для него, причем для простоты мы будем далее считать, что все и равны

Величина огибающая, вычисляемая по формуле (33.07): она то в сущности и определяет коэффициент правдоподобия являющийся монотонной функцией или же безразмерного параметра

При измерении дискретного параметра естественно образовать все коэффициентов правдоподобия принимать решение по максимальному (ср. § 50). Таким путем мы приходим к схемам -канальных приемников, на выходе каждого канала которых образуются величины

или . Второе соотношение (56.05) означает, что случайные величины во всех каналах имеют одинаковые статистические свойства, в частности,

причем мы дополнительно примем, что величины в различных каналах статистически независимы

Более подробно условие (56.09) можно записать в виде

где, например, значения сигнала в моменты Образовывая величину

в канале по принятым значениям мы будем иметь на выходе канала одну помеху

если только

Это значит, что каждый сигнал проходит только по своему каналу, ничего не давая на выходе остальных. Поэтому в литературе данную задачу часто называют задачей о системе ортогональных сигналов.

Данную схему можно применить, например, в задаче о сигнале с неизвестным временем прихода (см. § 53— 55). В качестве примера возьмем импульсы прямоугольной формы, время прихода которых может принимать лишь дискретные значения

Если помеха представляет собой белый шум и если выполняется условие

где есть длительность импульсов, то в силу соотношения

мы имеем задачу об ортогональных сигналах, причем

где длина интервала времени, в котором исследуется появление сигнала.

В случае сигналов произвольной формы корреляционная функция

стремится к нулю при Если при условии

функция принимает малые значения, которыми можно пренебречь, то при дискретных значениях (56.14) опять можно считать, что выполняется условие ортогональности (56.10).

Задача об М ортогональных сигналах имеет и другие интерпретации и применения. Например, сигналы могут быть разнесены не по времени прихода, а по частоте и вследствие этого удовлетворять условиям (56.10).

Рассмотрим М-канальный приемник, принимающий решение о наличии сигнала при условии

Вычислим вероятность того, что такое измерение дает правильный результат, что отобранный по максимуму параметр равен истинному значению Обозначим эту вероятность через она, очевидно, зависит от значения Пусть есть вероятность ложной тревоги в каждом канале при пороге (если этот канал использовать для. обнаружения каждого из сигналов в отдельности). Тогда вероятность в силу независимости случайных величин в канале равна

Если плотность вероятности величины канале, где действительно имеется сигнал обозначить через то вероятность вероятность произвести правильное измерение при любом значении будет равна

или

где есть биномиальный коэффициент

В случае сигнала с неизвестной фазой, когда

пользуясь тождеством (33.46), имеем

откуда из формулы (56.23) получаем следующее выражение:

В случае флюктуирующего сигнала с неизвестной фазой, когда

мы получаем более простое выражение

поскольку тогда

При двух сигналах формула (56.27) принимает вид

а формула (56.29) дает

При любом в обоих случаях имеем предельные соотношения

которые, разумеется, можно было ожидать заранее. Второе соотношение (56.33) является следствием тождества

При больших расчеты по формулам (56.27) и (56.29) становятся громоздкими, поэтому целесообразно вывести асимптотические формулы, пригодные при Для этого можно аппроксимировать функцию (56.21) следующим образом:

причем будем определять из требования, чтобы при точная функция (56.21) была равна

или

Отсюда

Действительно, при увеличении переход функции от значений к значениям становится все более резким, поэтому аппроксимация (56.35) дает все более точные результаты. Подставляя выражение (56.35) в выражение (56.22), получаем

т. е. вероятность правильного измерения равна вероятноста правильного обнаружения одного сигнала при использовании порога (56.38), зависящего от для которого можно написать приближенное выражение

На рис. 54 и 55 приведена зависимость вероятности от отношения сигнал/помеха вычисленная для М = 2, 4, 8 и 16 по точным формулам и для М = 16, 200, и 20 000 — по приближенным. На рисунках видно, что уже при расчеты, произведенные по приближенным формулам, дают достаточно удовлетворительные результаты. Из предыдущих формул следует, что разность при увеличении уменьшается для сигналов с постоянной амплитудой гораздо быстрее (экспоненциально), чем для сигналов с флюктуирующей амплитудой. Таким образом, правильное измерение дискретного параметра нефлюктуирующего сигнала с большой надежностью произвести гораздо легче, чем такое же измерение для флюктуирующего сигнала, а для мало надежного различения сигналов с постоянной амллитудой требуется, наоборот, большее отношение сигнал/помеха. Это обстоятельство мы уже обсуждали раньше в теории обнаружения.

Из рис. 54 и 55 и формул (56.39) и (56.40) видно, что необходимые значения возрастают с увеличением однако, довольно медленно, поскольку число сигналов входит под знаком логарифма.

В § 55 мы вывели для вероятности измерения непрерывного параметра х неравенство (55.02), в правой части

Рис. 54. Зависимость вероятности правильного различения от отношения сигнал/помеха в одном канале при неизвестной фазе сигнала. Сплошные кривые — по точной формуле (56.27), пунктирные — по приближенной формуле (56.39).

Рис. 55. Зависимость вероятности правильного различения от отношения сигнал/помеха в одном канале при неизвестной фазе и неизвестной амплитуде сигнала. Сплошные кривые — по формуле (56.29), пунктирные — по приближенной формуле (56.39).

которого фигурирует полная вероятность ошибки при различении двух сигналов . Эти сигналы при достаточно большом можно считать ортогональными, и тогда по формулам (55.02) и (55.08) мы получаем

где

В данном параграфе мы показали, что различить ортогональных сигналов при весьма большом труднее, чем при или Поэтому ясно, что при больших значениях получающихся по формуле (56.17), вероятность ошибки должна значительно превышать величину, стоящую в правой части неравенства (56.41).

В настоящее время лишь рассмотрение системы М ортогональных сигналов позволяет получить какие-то количественные (хотя и приближенные) результаты о возможностях измерения параметра сигнала в широком интервале значений этого параметра. Только при вероятности достаточно близкой к единице, можно считать, что грубое измерение непрерывного параметра достаточно надежно и что данный максимум коэффициента правдоподобия связан с сигналом, а не является случайным выбросом. Если при разбиении априорного интервала на частей в соответствии с формулами (56.14), (56.15) и (56.19) получается вероятность достаточно близкая к единице, то можно ставить вопрос о дальнейшем уточнении значения х, т. е. более точном измерении.

Теоретические возможности, связанные с точным измерением произвольного параметра были рассмотрены в § 52 и конкретизированы в § 53—55 для измерения времени прихода сигнала. Если сигнал имеет постоянную амплитуду и помехи достаточно слабы, то измеренное значение является нормальной случайной величиной, среднее значение которой равно — инстинному значению а дисперсия определяется формулой (53.16). Также можно пользоваться неравенством (55.02) и рис. 53, которые должны давать приближенную оценку ошибки при «точном» измерении, проводимом вслед за грубым измерением, поскольку тогда при «точном» измерении интервал измерения достаточно узок.

На практике измерение параметра сигнала при наличии помех естественно разбивается на две различные операции: грубое измерение и точное, причем результаты точного измерения должны приниматься в расчет только при их согласии с результатами грубого. Заметим, что экспериментальное исследование функций для непрерывного параметра часто возможно лишь в результате построения этих функций по отдельным точкам (56.14), полученным в результате разбиения исходного

интервала на большое число малых интервалов причем помехи в разных интервалах являются приближенно независимыми. Таким образом, задача об ортогональных сигналах отображает свойства реальных технических устройств.

Задача о системе ортогональных сигналов была впервые поставлена и решена (в более частных предположениях) В. А. Котельниковым.