§ 6. ФИЛЬТРАЦИЯ КВАЗИМОНОХРОМАТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ С ПОМОЩЬЮ ФИЛЬТРА I ТИПА

Представим себе, что у нас имеется сигнал

где

При фиксированных константах или сигнал (6.01) вообще не является случайным процессом. Если случайные величины, не зависящие от времени и удовлетворяющие соотношениям

то сигнал (6.01) можно рассматривать как случайный процесс. Спектр этого процесса сводится к частотам поэтому такой сигнал можно назвать монохроматическим. Монохроматический сигнал можно рассматривать как предельный случай квазимонохроматического сигнала, в котором медленно изменяются со временем по статистическим законам. На практике монохроматических сигналов реализовать нельзя, можно осуществить только квазимонохроматические сигналы, приближающиеся к монохроматическим сигналам достаточно близко.

При случайной модуляции гармонического колебания частоты мы получаем новый случайный процесс. Для того, чтобы этот процесс можно было считать квазимоно-хроматическим сигналом, ширина спектра модуляции по сравнению с несущей частотой должна быть достаточно мала, т. е.

Будем считать, что стационарные случайные функции имеют следующие статистические свойства

В соотношениях (6.06) произведение есть автокорреляционная функция случайных величин

взаимная корреляция между которыми отсутствует. Константа определяется формулой

так что

Функцию удовлетворяющую такому соотношению, принято называть нормированной автокорреляционной функцией или коэффициентом корреляции.

Выше мы сделали некоторые предположения о статистических свойствах функций Отсюда вытекает ряд свойств для функций связанных с ними формулами (6.02). Функция называется огибающей случайного процесса функция его фазой. Строгое определение огибающей и фазы для любого случайного процесса было впервые дано В. И. Бунимовичем в 1944 г. и подробно изложено в его книге. Там же читатель может найти доказательство того, что при условии (6.04) функции всегда удовлетворяют соотношениям (6.06) и (6.07).

Вычислим теперь корреляционную функцию полезного сигнала

или

При получаем

что показывает физический смысл постоянной

Для дальнейшего введем спектральную функцию

соответствующую нормированной корреляционной функции Тогда обратное преобразование Фурье дает

С помощью функции определяющей спектральную интенсивность случайных процессов мы найдем и самый спектр квазимонохроматического сигнала

В силу формулы Эйлера

выражение (6.14) перепишется так

или, принимая во внимание формулу (6.12),

Величина фигурирующая в формуле (6.04), характеризует ширину функции определенную согласно § 3. Как и в § 3, мы считаем, что функция имеет колоколообразную форму с максимумом при

В силу соотношения (3.33) неравенство (6.04) дает

Время корреляции характеризует быстроту изменения случайных функций во времени. Условие (6.16) показывает, что за промежуток времени достаточный для заметного изменения функции испытают много колебаний. Иначе говоря, функции являются при условии (6.04) медленно

меняющимися функциями по сравнению с

Спектральная интенсивность согласно формуле (6.15) имеет вид, изображенный на рис. 6, и в силу условия (6.04) состоит из двух неперекрывающихся частей, расположенных при и

В дальнейшем при конкретных расчетах мы положим

тогда по формуле (3.23) будем иметь

Параметр а определяет ширину спектра. Действительно, по формулам (6.09) и (6.13) имеем

и соотношение (3.30) дает

Исследуем теперь оптимальные фильтры, выделяющие квазимонохроматические сигналы на фоне так называемых «белых шумов» — помех с постоянной спектральной интенсивностью

Рис. 6. Спектр квазимонохроматического сигнала.

Название «белый шум» образовано по аналогии с «белым светом», в котором присутствуют все цвета спектра, соответствующие различным частотам. Подобно этому, в «белом шуме», представлены колебания всех частот, причем с одинаковой интенсивностью. В чистом виде, очевидно, белый шум не осуществим, поскольку ему соответствовала бы бесконечно большая интенсивность колебаний формулу (3.04)]. Поэтому нужно считать, что

постоянство имеет место в пределах достаточно большого интервала частот, и при более высоких частотах функция спадает до нуля. Фактически же мы должны требовать для справедливости всех дальнейших выводов постоянства в пределах спектра сигнала (рис. 6).

Рассмотрим оптимальный фильтр I типа для квазимонохроматического сигнала. В случае простой фильтрации при отсутствии корреляционной связи между сигналом и шумом частотная характеристика такого фильтра определяется формулой (2.38)

При вычислении функции по формуле

мы, ввиду четности функции можем ограничиться положительными значениями х. Обозначим знаменатель подынтегрального выражения буквой и найдем корни уравнения Для функции (6.18) оно имеет четыре комплексных корня (два корня при со и два — при При вычислении полюсов удобно воспользоваться тем, что при функция приближенно равна

поскольку слагаемым здесь можно пренебречь. Тогда знаменатель равен

Он обращается в нуль при

Два других корня будут при Таким образом, два корня расположены в верхней полуплоскости и два — в нижней. При вычислении для важны корни только в верхней полуплоскости, поскольку мы деформируем путь интегрирования наверх и, пользуясь леммой Жордана (ср. § 8), сводим интеграл к сумме вычетов.

Производная в полюсах будет равна

и окончательное выражение для запишется в виде

где введен безразмерный параметр играющий в данной задаче роль отношения сигнала к шуму (по мощности)

с помощью которого можно записать параметр в виде

Безразмерный параметр показывает, насколько квазимонохроматический сигнал интенсивнее похмехи. Действительно, есть согласно формуле (6.11) среднее значение интенсивности монохроматического сигнала, а произведение согласно формуле (6.20) определяет интенсивность помех в полосе частот, занятой сигналом.

В случае больших помех из формулы (6.29) получаем откуда

и

в соответствии с формулой (2.43). Когда же помехи малы по сравнению с сигналом то из формулы (6.29) получаем

Полоса пропускания оптимального фильтра соответствует интервалам частот

Мы видим, что при уменьшении интенсивности помех полосу пропускания фильтра целесообразно расширять.

личение ширины полосы фильтра при малом уровне помех приводит к уменьшению его памяти — времени извлечения («собирания») сигнала из шума, равного по порядку величины Это вполне понятно, ибо при отсутствии помех получение полезного сигнала вообще не требует времени. Можно также отметить, что «собирать» квазимонохроматический сигнал с помощью фильтра имеет смысл только в пределах времени корреляции сигнала, поэтому всегда

Вычислим среднюю квадратичную ошибку фильтрации

или

Записав подынтегральную функцию в виде

возьмем интеграл (6.34) с помощью вычетов. Вычеты здесь будут двоякие. Во-первых, они связаны с нулями знаменателя во-вторых, с полюсами числителя Окончательно мы получим

Действительно, поступая как при выводе формулы (6.27), будем иметь

Предположим, что а стремится к нулю, иными словами, сигнал становится все более монохроматичным. Тогда

растет и падает. Это достигается за счет того, что суживается полоса пропускания фильтра (6.32) и увеличивается его память — время , за которое он эффективно использует входной сигнал. Однако (3 убывает не пропорционально , а медленнее

поскольку, как было указано выше, нецелесообразно сужать полосу пропускания фильтра до полосы сигнала, а выгодно брать ее несколько шире.

Заметим, что для рассматриваемого нами полосового фильтра с частотной характеристикой (6.21) величины по-прежнему связаны соотношением вида (3.33).

Вернемся теперь к монохроматическим колебаниям. Для них и

причем перед стоит бесконечно малый коэффициент. Заметим, что бесконечно малая ошибка достигается здесь благодаря бесконечно большому времени работы фильтра. Если использовать входной сигнал за конечный промежуток времени, то и ошибка, очевидно, будет конечной.