§ 14. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ О ФИЛЬТРАЦИИ
Рассмотрим фильтрацию на фоне весьма интенсивных помех, равномерно распределенных в пределах спектра полезного сигнала
Будем считать (ср. § 2), что
т. е. примем, что полезный сигнал и шум статистически независимы. Записав 
в виде
выразим 
и через неизвестную функцию 
откуда
Пренебрегая последним членом в квадратной скобке, можемнаписать
Сравнивая равенство 
с равенством (14.02), мы получаем с точностью до членов второго порядка малости
Так как 
функция, аналитическая в нижней полуплоскости, то из формулы (14.04) видно, что функция 
тоже должна быть аналитической в нижней полуплоскости. Аналогично, функция 
должна быть аналитической в верхней полуплоскости. Значит, чтобы
найти 
нужно разложить 
на слагаемые по лемме I или лемме II. Согласно лемме II
При вещественных 
вследствие четности функции 
мы имеем
Так как сигнал и помеха предполагаются статистически независимыми, то
и функция 
в первом приближении равна
Разлагая дальше 
по лемме I, в силу постоянства знаменателя получим
откуда в том же приближении частотная характеристика оптимального фильтра II типа оказывается равной
Реакция этого фильтра на единичный импульс равна
или
Средняя квадратичная ошибка фильтрации равна
Такой же результат был получен ранее для фильтров I типа (ср. § 2).
Формула (14.15) показывает, что при данных условиях функция 
пропорциональна корреляционной функции полезного сигнала. Для фильтров II типа это справедливо лишь при 
так как при 
должно быть 
Для фильтров I типа формулы (2.43) дает
т. е.
при всех 
Фильтры I типа должны иметь меньшую среднюю квадратичную ошибку, чем фильтры II типа, поскольку фильтры I типа используют входной процесс 
за все время 
до 
Фильтры II типа используют входной сигнал лишь за полубесконечный отрезок времени. В силу ограничения, накладываемого на фильтр II типа, они всегда будут давать большую ошибку, поскольку ясно, что всякий условный минимум всегда больше абсолютного. Вообще можно сказать, что всякое сужение интервала времени, в течение которого используется входная функция, ведет к тому, что прибавляются некоторые дополнительные условия и поэтому увеличивается средняя квадратичная ошибка. Поэтому фильтры III типа имеют среднюю квадратичную ошибку, вообще говоря увеличивающуюся с уменьшением их «памяти» во времени.
Заметим также, что нет резкой границы между фильтрами I и II типов. Существует промежуточный случай, так называемые запаздывающие фильтры. Это такие фильтры 
для которых по определению
т. е. фильтр выделяет сигнал в более ранний момент времени 
следовательно, использует и часть будущего — 
до 
Поэтому при 
этот фильтр будет «чистым» фильтром II типа, при 
он переходит в фильтр I типа
В § 1 мы ввели также понятие фильтров III типа, использующих данный процесс за конечный отрезок времени [см. формулы (1.16) — (1.19)]. Теория таких фильтров довольно сложна, и мы ее не будем излагать в этой книге. Отметим лишь, что между этими фильтрами и рассмотренными выше фильтрами I и II типов также нет резкой границы.
