§ 57. ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛА С ДИСКРЕТНЫМ ПАРАМЕТРОМ И ИЗМЕРЕНИЕ ЭТОГО ПАРАМЕТРА

В предыдущих параграфах мы рассматривали лишь «чистое» измерение, т. е. предполагали заранее известным присутствие полезного сигнала, причем только одного — с некоторым неизвестным значением параметра или которое требовалось измерить. Обычно измерение приходится сочетать с обнаружением, ввиду чего вопрос нуждается в дополнительном исследовании.

Обнаружение сигналов с дискретным параметром и измерение этого параметра можно производить с помощью различных -канальных приемников, которые мы будем условно называть приемниками I, II и III типов.

Приемник I типа производит обнаружение по коэффициенту правдоподобия

а именно,

и, кроме того, при принимает решение о наличии сигнала с максимальным А. Этот приемник нуждается в модификации, если сигналы могут, например, появляться попарно.

Если сигналы других неизвестных параметров не имеют, то каждый канал приемника должен образовывать величину

где есть вероятность появления сигнала при условии, что какой-то полезный сигнал присутствует, определяется формулами (56.07). Таким образом, осуществление приемника I типа язляется с практической точки зрения дозольно громоздкой задачей, поскольку после линейной обработки входных данных (при получении требуется образовывать величины (57.03) и затем их суммировать по формуле (57.01). Однако шриемник I типа является оптимальным приемником обнаружения в смысле гл. V, так что характеристики всех других приемников должны уступать характеристикам приемника I типа. Поскольку вычисление характеристик приемника I типа связано с определенными трудностями (см. далее), детально изучить преимущества этого приемника не удается, однако можно считать установленным, что преимущества эти невелики.

Приемник II типа производит предварительное испытание всех каналов по правилу

где порог в канале приемника. Если во всех каналах то выносится решение об отсутствии сигналов, если хотя бы в одном канале то выносится решение о наличии сигналов. Если заранее известно, что может быть не больше одного сигнала, то в качестве такового предлагается сигнал с максимальным Если число сигналов не ограничено, то испытание по формуле (57.04) является окончательным.

Приемник III типа сначала производит измерение, т. е. выбирает из всех величин наибольшую, а затем, испытызая выбранное значение

где - те же пороги, что и в формуле (57.04). Этот приемник можно применять только при условии, что появление двух или более полезных сигналов a priori исключено. Если же может появиться только один сигнал, то приемники II и III типов, как легко видеть,

эквивалентны, поскольку они производят те же самые операции, но в другой последовательности.

Можно сказать, что в приемнике I типа сначала производится обнаружение, а затем измерение, в приемнике II типа обнаружение и измерение проводятся параллельно, а приемник III типа сначала измеряет параметр а потом проверяет наличие сигнала с измеренным параметром «на обнаружение». Приемники II и III типов осуществить на практике гораздо проще, чем приемник I типа, поскольку вместо отдельных в каждом канале приемника можно образовывать любую монотонно возрастающую функцию

При исследовании характеристик введенных выше приемников мы ограничимся системой ортогональных равновероятных сигналов с одинаковым отношением сигнал/помеха (см. § 56), причем одновременное появление двух или более сигналов будем считать исключенным. Ясно, что в силу равноправности всех сигналов [см. формулы (56.05) и (56.08)] все пороги в формулах (67.04) и (57.05) следует брать одинаковыми, и тогда вероятности ложной тревоги и правильного обнаружения во всех каналах приемника II типа будут одинаковы.

Вычислим вероятность ложной тревоги в приемнике

II типа. Случайные величины в различных каналах независимы в силу формулы (56.09), поэтому вероятность правильного необнаружения в -канальном приемнике

II типа по формуле умножения вероятностей независимых событий равна

и вероятность ложной тревоги получается равной

Вероятность пропуска сигнала приемником II типа, очевидно, равна

поскольку приемник II типа может обнаружить сигнал и за счет ложной тревоги в одном из «пустых» каналов. Вероятность правильного обнаружения равна

Формулы (57.08) и (57.10) связывают вероятности в М-канальном приемнике с вероятностями в отдельном канале, производящем обнаружение одного сигнала. Заметим, что характеризуют лишь «обнаруживающие» функции приемника II типа и не касаются его «измерительных» функций. При достаточно малом мы можем пользоваться приближенными формулами

Особенно простой результат эти формулы дают для сигналов с неизвестной амплитудой и фазой (§ 34). Действительно, в силу формул (34.25) и (57.11) мы имеем

где есть отношение сигнал/помеха в каждом канале. Эта формула позволяет в явном виде найти значение необходимое для обеспечения заданных

В одноканальном приемнике обнаружения, т. е. при соответствующее значение равно формулу (34.24)]

так что формулу (57.13) можно переписать в виде

Мы видим, что для достижения заданных и -канальном приемнике требуются тем большие значения чем больше причем необходимое приращение пропорционально

Для сигналов с неизвестной фазой из формул (33.48) и (57.11) получаем

где нормированный порог решения в М-канальном приемнике.

Подставляя это выражение в формулу (33.49) и считая в последней получим выражение

где

Разрешая последнее соотношение относительно приходим к выражению

которое при т. е. при упрощается следующим образом:

где

есть отношение сигнал/помеха, обеспечивающее те же вероятности в одноканальном приемнике обнаружения, описанном в § 33. Формулы (57.19) и (57.20) опять приводят к логарифмической зависимости от числа каналов которая получается и для сигналов с другими свойствами, а также при измерении (см. § 56).

Характеристики приемника II и III типов при сделанных предположениях совпадают, поэтому нам остается исследовать только приемник I типа. Если сигналы от дополнительных случайных параметров не зависят, то при

отсутствии сигнала коэффициент правдоподобия (57.03) равен

Вследствие того, что случайная величина является нормальной и имеет моменты

нетрудно написать распределение и вычислить среднее

где любое число. Отсюда нетрудно найти моменты случайной величины (57.22)

При наличии сигнала мы имеем

так что

Если теперь учесть, что помехи в различных каналах приемника, где образуются величины в соответствии с формулой (56.10) статистически независимы

то при отсутствии полезного сигнала получаем

а при наличии одного полезного сигнала

До сих пор рассуждения были совершенно строги, однако они не дают еще возможности вычислить вероятность ложной тревоги и вероятность правильного обнаружения так как распределение величины А неизвестно, а известны лишь моменты (57.29) и (57.30). Поскольку является суммой независимых случайных величин то при больших естественно считать, что случайная величина приближенно распределена по закону Гаусса. Отсюда вероятность ложной тревоги получается равной

а вероятность правильного обнаружения

Если для простоты положить то мы получим соотношения

в которых согласно формулам (31.34) и означает отношение сигнал/помеха, которое при простом обнаружении обеспечивает те же вероятности Соотношения (57.33) приводят к выражению

Прежде чем анализировать этот результат, рассмотрим еще сигналы с неизвестными фазами, Моменты соответствующего коэффициента правдоподобия

[ср. формулу (56.03)] при отсутствии полезного сигнала равны

где мы использовали формулу для так называемого второго интеграла Вебера (см. Ватсон стр. 433) и учли, что функция распределения величины согласно § 33 равна

Поэтому вместо выражений (57.29) мы получаем

а при наличии одного полезного сигнала

Формула (57.33) изменяется следующим образом:

где мы воспользовались приближенной формулой (33.49) из которой следует, что при причем имеет смысл отношения сигнал/помеха при одноканальном обнаружении с теми же вероятностями Связь между дается выражением

причем из неравенства

следует что по уравнению (57.41) и будет больше, чем вычисленное по формуле (57.34). Однако из асимптотического выражения

видно, что при больших получаемых по формуле (57.34), разница сравнительно невелика, так что в качестве грубой оценки можно использовать формулу (57.34) и для сигналов с неизвестной фазой.

Сравнивая формулу (57.20) и (57.34) при больших мы еще раз убеждаемся в том, что приемник I типа

превосходит приемник типа, поскольку при достаточно большом значении последний требует вдвое большего отношения сигнал/помеха для достижения тех же

К сигналу с флюктуирующей амплитудой предыдущих рассуждений применить нельзя, поскольку получается

Исследование асимптотического (при закона распределения случайной величины требует более тонкого математического метода. Приемник I типа для сигналов с неизвестными амплитудой и фазой рассмотрен в статье Добрушина, причем автор получает для этого приемника при малых формулу (57.13), выведенную выше для приемника II типа. Таким образом, при данных условиях приемник I типа не имеет какого-либо заметного преимущества перед приемником II типа.

В заключение отметим, что вероятность получить правильный результат при совместном обнаружении и измерении равна

где вероятность правильного обнаружения, исследованная в этом параграфе, а вероятность правильного измерения при условии, что сигнал присутствует (см. § 56)