§ 17. СОГЛАСОВАННЫЙ ФИЛЬТР ИЛИ КОРРЕЛЯТОР

Исследуем более подробно оптимальный фильтр при условии

т. е. когда спектр помехи равномерно распределен по диапазону частот, занятому полезным сигналом. Такую помеху называют обычно белым шумом (ср. § 7 и 12), а соответствующий оптимальный фильтр К согласованным фильтром. Частотная характеристика этого фильтра равна

Она целиком определяется формой сигнала, "согласована" с ним. Формула (17.02) получена из выражения (16.14), в котором для простоты записи мы положили

Рассмотрим более детально действие согласованного фильтра. Вследствие соотношения (16.05) и вещественности функции имеем

Сигнал на выходе согласованного фильтра по формулам (16.06) и (17.02) равен

Меняя порядок интегрирования, получим

где заменено на Принимая во внимание формулу (16.04), получаем

Интеграл

называется автокорреляционной функцией сигнала известной формы. Величина отличается от автокорреляционных функций, которые мы рассматривали раньше, поскольку вместо статистического усреднения величины производится простое интегрирование по (ср., впрочем, конец § 1). Из формулы (17.08) видно, что

так что в данном случае значение определяет энергию полезного сигнала, в то время как для стационарного случайного процесса величина определяет его интенсивность (или мощность). Заметим, что энергетические величины часто определяются значением лишь с точностью до некоторого постоянного множителя.

Вернемся к формуле для полезного сигнала на выходе фильтра. Пользуясь определением корреляционной функции, мы видим, что

Эта формула дает замечательный результат: согласованный фильтр есть не что иное, как коррелятор, выдающий не полезный сигнал, а его автокорреляционную функцию.

При полезный сигнал на выходе Согласованного фильтра принимает значение

Нетрудно показать, что формулы (3.12) и (3.13) применимы и к корреляционной функции (17.08). Поэтому

так что есть максимальное значение полезного сигнала на выходе, как это было уже доказано в § 16. Мы видим, что какова бы ни была форма полезного сигнала, максимальное значение сигнала на выходе согласованного фильтра определяется только полной энергией сигнала на входе. Формула (16.15) при условии (17.01) принимает вид:

Из формул (17.05) — (17.09) следует тождество

хорошо известное в теории интегралов Фурье. Поэтому формула (17.13) принимает следующий простой вид:

Мы видим, что отношение сигнала к шуму на выходе согласованного фильтра определяется двумя физическими величинами — полной энергией полезного сигнала и спектральной интенсивностью помехи т. е. мощностью, приходящейся на полосу в 1 гц (ср. начало § 3). Таким образом, обнаружение полностью известного сигнала на фоне «абсолютно случайного процесса» — белого шума (ср. § 12) - можно улучшить лишь путем увеличения энергии полезного сигнала, в то время как при других помехах тот же результат можно получить, изменяя спектр сигнала, т. е. его форму (см. § 16).

Реакция согласованного фильтра на единичный импульс по формуле (2.19) равна

или

Поэтому согласованный фильтр работает по формуле выражение (1.11)]

так что по отношению ко всему процессу (16.01) он образует взаимную функцию корреляции полезного сигнала и входной функции формулы (1.19)]. Поэтому согласованный фильтр можно назвать также коррелятором.

Если полезный сигнал имеет вид (16.22), т. е. содержит неизвестные параметры то частотная характеристика в соответствии с формулами (16.25) и (17.02) будет равна

а его реакция на единичный импульс

На выходе согласованного фильтра получается функция

т. е. взаимная корреляционная функция вида (17.17), ввиду чего согласованный фильтр опять можно назвать коррелятором. Различие между формулами (17.17) и (17.20) в том, что в случае полностью известного сигнала по формуле (17.17) нужно образовывать только одно значение а в случае сигнала с неизвестным нужны значения вычисленные по формуле (17.20) при всех возможных значениях

Полезный сигнал на выходе согласованного фильтра будет образовываться по формуле

где автокорреляционная функция сигнала По сигналу (17.21) можно определить параметры исходного сигнала, а также решить волрос об его наличии — с тем меньшими ошибками, чем больше параметр

В этом и предыдущем параграфах на функции каких-либо ограничений не налагалось, так что в общем случае мы должны получить фильтр I типа (по классификации § 1). Если, однако, для согласованного фильтра взять параметр таким, что

то согласованный фильтр будет фильтром II типа. Этот результат совершенно очевиден: согласованный фильтр не может закончить своей работы раньше, чем закончится наиболее запаздывающий полезный сигнал. Начало работы фильтра определяется моментом появления наиболее раннего сигнала.

Чтобы правильно оценить действие согласованного фильтра, нужно учесть, что в радиотехнике полоса пропускания приемника (т. е. соответствующего высокочастотного фильтра в приемнике) всегда согласуется с полосой, занятой полезным сигналом. Рассмотрим фильтр с прямоугольной частотной характеристикой

воздействующий на прямоугольный радиоимпульс (20.01) со спектральной амплитудой (20.03), удовлетворяющей соотношению

(см. далее § 20). В этом случае полезный сигнал на выходе фильтра К по формуле (16.06) равен

Ограничиваясь в выражении (20.03) первым слагаемым, в квадратной скобке (что долустимо при условии где продолжительность импульса), мы получим

Нетрудно показать, что при достаточно малых максимальное значение функции (17.26) достигается при В самом деле, если выполняется условие

то множитель в интервале интегрирования неотрицателен, и мы имеем

где

и

Фильтр с частотной характеоистикой (17.23) дает на выходе согласно формулам (16.08) и (17.01) шум с интенсивностью

и отношение сигнал/шум по формуле (16.09) равно

где

есть интегральный синус.

Чтобы сравнить формулу (17.32) с полученным ранее выражением (17.15), вычислим энергию прямоугольного импульса (20.01). Она равна

поскольку среднее значение равно Пользуясь обозначениями (17.30) и (17.34), получаем окончательно

или

где через обозначено отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра по формуле (17.15).

На рис. 18 изображена зависимость отношения от параметра Мы видим, что максимальное значение достигается при

т. е. когда

причем при такой "оптимальной" ширине полосы приемника

т. е. на 1 дб меньше Согласованный фильтр

Рис. 18. Сравнение согласованного фильтра и фильтра с прямоугольной частотной характеристикой.

дает большее значение за счет того, что его частотная характеристика не только по ширине полосы, но и по своей форме подбирается в соответствии со спектральной амплитудой сигнала, однако получаемый выигрыш невелик.