§ 4. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ ФИЛЬТРОВ И СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ИМ ОПЕРАТОРЫ

Рассмотрим следующий вопрос, важный с точки зрения теории линейных фильтров. Пусть процессы связаны формулой

где линейный оператор. Выясним, как связана спектральная интенсивность со спектральной интенсивностью где произвольный случайный процесс.

Возьмем сначала оператор в виде линейного интегрального оператора (как мы уже отмечали в § 1, не все

линеиные операторы можно представить в интегральной форме), т. е.

Поскольку

то подставляя в это равенство из формулы (4.02), получим

Меняя порядок интегрирования, получим 00 00

или

где обозначено

и использовано соотношение

Функцию можно назвать [ср. формулу (2.18)] частотной характеристикой, соответствующей оператору Согласно формулам (3.17) и (3.19) можно также написать

или

Пусть спектральная интенсивность процесса на выходе фильтра на его входе. Тогда можно написать

или

Выражение (4.10) показывает, что спектральная инген-. сивность на выходе линейной системы равна произведению. квадрата модуля частотной характеристики на спектральную интенсивность на входе. Она приводит к формуле (3.09), выведенной ранее.

Однако на практике не все линейные операции записываются в виде (4.02), иногда же интеграл (4.07) для не имеет смысла. В таких случаях мы определяем частотную характеристику соответствующую оператору по формуле

Рассмотрим несколько примеров.

1. Пусть Такого простого равенства в интегральной форме (4.02), строго говоря, представить нельзя. Формально можно использовать дельта-функцию формулу (1.13)], однако для наших целей в этом нет необходимости. Поскольку есть единичный оператор, естественно в данном случае считать

что согласуется с формулой (4.11).

2. Пусть

т. e. L есть оператор сдвига во времени. Чему равна частотная характеристика Легко показать, что

Действительно,

или

откуда и получаем формулу (4.14).

3. Пусть есть оператор дифференцирования

Тогда

и

откуда

4. Пусть, наконец, есть оператор интегрирования

так что

и

Частотная характеристика, соответствующая оператору интегрирования, равна

Нужно отметить, что при стационарности процесса процесс (4.20) не всегда стационарен, а тогда соотношения (4.22) и (4.23) не имеют смысла.

Обобщая формулы и (4.19), можно сказать, что если частотная характеристика является полиномом

где постоянные, то соответствующий оператор будет равен

поскольку слагаемое соответствует умножению на коэффициент и -кратному дифференцированию по

Формулы (4.09) и (4.10) легко обобщаются на случай операторов, рассмотренных выше.

Для частотной характеристики линейного оптимального фильтра I типа мы получили выше выражение (2.28). Применяя формулу (4.11), мы легко преобразуем это выражение к виду

Если сигнал и помеха не коррелированы, то согласно формулам (2.37) будем иметь

Формула для имеет простой физический смысл. Когда помехи отсутствуют, т. е. то

Множитель

дает поправку на помехи. Как видно из формулы (2.38), это — частотная характеристика фильтра, осуществляющего простую фильтрацию. Поэтому можно сказать, что, например, в дифференцирующих фильтрах I типа функция на выходе получается в результате простого восстановления

полезного сигнала и затем дифференцирования восстановленного сигнала. Символически можно записать

где К — оператор простой фильтрации. Ошибка, даваемая оптимальным фильтром при сложной фильтрации, получается равной

а если сигнал и помеха не коррелированы, то

При формула (4.32) переходит в (2.39).

В теории фильтрации спектральные интенсивности часто представляют в виде дробно-рациональных функций, т. е.

где полиномы степени и Поскольку интеграл должен сходиться, должно быть

Спектральные интенсивности, соответствующие автокорреляционным функциям, являются четными функциями, поэтому для них полиномы и содержат лишь четные степени со. Частотная характеристика оптимального фильтра К при таком представлении спектральных функций также будет рациональной функцией, и ее можно записать в виде

где полином степени полином степени

Возможны два случая: 1) а первом случае применима вся теория оптимального фильтра, изложенная в § 2. Во втором случае числитель будет при

расти быстрее знаменателя, и если мы попытаемся найти выражение для то интеграл

не будет сходиться. Тогда вся теория оптимальных фильтров оказывается необоснованной, ибо по полученной частотной характеристике нельзя найти никакой функции

Разделив один полином на другой, выражение для можно представить в виде суммы

где первый член есть полином степени а второй чйен есть остаток от деления числителя на знаменатель и поэтому является функцией, убывающей при . Полином равный

согласно формулам (4.24) и (4.25) соответствует оператору

поэтому можно предположить, что функция на выходе фильтра с частотной характеристикой (4.37) будет равна:

где

Однако при выводе интегрального уравнения (§ 2) мы не учитывали того обстоятельства, что линейный

оптимальный фильтр может работать по формуле (4.39), более общей, чем формула (2.01). Поэтому в следующем параграфе мы обобщим теорию оптимальных фильтров на этот случай и, следовательно, обоснуем утверждение, что частотной характеристике (4.36) соответствует фильтр (4.39).