§ 51. ВЫДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНОГО СИГНАЛА НА ФОНЕ СЛУЧАЙНЫХ ПОМЕХ

В этом параграфе мы разберем простейший случай измерения нескольких неизвестных параметров, а именно, измерение элементов случайной последовательности.

Пусть суть выборки двух независимых случайных процессов нормального типа, удовлетворяющих соотношениям

Будем считать полезным сигналом, -помехой, причем поставим задачу об измерении каждого элемента при наличии помех

Априорная Н-мерная плотность вероятности полезного сигнала равна

а априорная Я-мерная плотность вероятности помех равна

Коэффициент правдоподобия можно записать в виде

Найдем наиболее вероятные значения для чего решим систему уравнений

Учитывая симметрию матриц мы получим для искомых величин уравнения

так что эти величины являются линейными комбинациями входных данных

Для коэффициентов получаются уравнения

Эти уравнения путем дозольно утомительных преобразований приводятся к уравнениям (26.10). Чтобы сократить

эти преобразования, введем матричные обозначения

так что

где — единичная матрица. Тогда уравнения (51.08) запишутся так:

и умножение на слева дает

откуда получаем

и окончательно

Это уже совпадает с соотношениями (26.12) и (26.10).

Таким образом, операция выделения случайного сигнала из случайной помехи по максимуму коэффициента правдоподобия является линейной операцией. Она точно совпадает с оптимальной линейной фильтрацией последовательностей, изложенной в гл. IV и основанной на критерии минимума средней квадратичной ошибки. В частности, величины (51.07) совпадают с величинами (26.05).

Полученные результаты устанавливают связь между теорией оптимальной фильтрации случайных последовательностей и процессов, изложенной в первой части книги, и теорией оптимальных приемников. Эту связь можно было бы исследовать более подробно, однако мы ограничимся этими краткими указаниями, и перейдем к более сложным вопросам, относящимся к измерению параметров сигнала в присутствии помех: