Главная > Выделение сигналов на фоне случайных помех
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 26. ФИЛЬТРАЦИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ПРОЦЕССОВ I

В предыдущих параграфах мы рассмотрели задачи о фильтрации последовательностей, причем обозначения были выбраны таким образом, чтобы подчеркнуть далеко идущую аналогию с непрерывными процессами. В теории оптимальных приемников (во второй части книги) удобнее применять несколько иные обозначения, которые мы и приведем в этом и следующем параграфах. Во второй части книги мы будем для простоты рассуждений ограничиваться, главным образом, последовательностями, поскольку переход к непрерывным процессам, как правило, достаточно прост. Оптимальные приемники, исследуемые во второй части книги, в качестве своего существенного звена часто содержат оптимальные линейные фильтры, изученные в первой части данной книги, поэтому целесообразно представить теорию этих фильтров в виде, удобном для сравнения с теорией оптимальных приемников.

Пусть нам известна случайная последовательность

элементы которой равны сумме элементов (полезный сигнал) и (помеха)

Величины образуют случайную последовательность, их) первые и вторые моменты соответственно равны

так что свойства помехи определяются матрицей - симметричной матрицей порядка.

В зависимости от свойств последовательности возникают разные задачи. Если величины также случайны, причем их моменты известны

то возникает задача об оптимальном восстановлении (или выделении) величин из их смеси (26.02) с помехой. Ограничиваясь линейными операциями над заданными числами мы ищем коэффициенты в формуле

обеспечивающие минимум среднего квадрата ошибки

Если ввести в дополнение к (26.03) и (26.04) обозначения

то средний квадрат ошибки (26.06) равен

Условие минимума

приводит к уравнениям

позволяющим, по крайней мере в принципе, определить искомые коэффициенты . В самом деле, если через обозначить элементы матрицы, обратной т. е. если удовлетворяют уравнениям

где символ Кронекера, то искомые величины будут равны

В дальнейшем мы будем для простоты считать последовательности взаимно некоррелированными

тогда выражения (26.07) примут вид

а формулу (26.12) можно будет переписать в виде

Сами уравнения (26.10) можно переписать следующим образом:

или

где мы использовали первую формулу (26.14) и обозначили через матрицы, обратные матрицам соответственно. В силу уравнений (26.10) средняя квадратичная ошибка при оптимальных коэффициентах равна

Рассмотрим теперь другой случай, когда последовательность известна полностью, однако при этом может либо присутствовать, либо отсутствовать в последовательности в отсутствие величины сводятся к чистой помехе, т. е. вместо (26.02) мы имеем

Здесь также можно искать коэффициенты такие, что при образовании величины

получается наибольшее отношение сигнал/помеха, определяемое формулой

и характеризующее достоверность обнаружения полезной последовательности на фоне помех. Здесь

и

Услозие максимума

приводит нас к системе уравнений для неизвестных коэффициентов

где с — произвольная постоянная. Если опять воспользоваться обратной матрицей то

Если вместо известной последовательности во входной последовательности (26.02) может содержаться одна из последовательностей и нам нужно решить, какая из возможностей реализуется, то естественно образовывать величины

и искать коэффициенты так, чтобы параметры

принимали наибольшие значения. Это приводит к уравнениям

по существу не отличающимся от уравнений (26.25). Те же соотношения получаются, если полезный сигнал появляется с неизвестной амплитудой т. е. в виде последовательностей Решение уравнений (26.29) можно представить в виде

Если последовательность (26.01) задана в моменты времени

так что

то корреляционные функции можно записать следующим образом:

Коэффициенты в формуле (26.05) удобно, однако, писать в виде

так что формула (26.05) и уравнения (26.10) принимают вид

Отсюда уже легко перейти к процессам, являющимся функцией непрерывного времени достаточно заменить суммы на интегралы

где

есть интервал времени, в течение которого задана функция

Если все процессы стационарны, то

и поэтому можно считать

Тогда формулы (26.38) переходят в соотношения гл. I.

В случае, когда полезный сигнал полностью известен, мы полагаем произвольный элемент последовательности (26.31)]

так что формулы (26.20) и (26.25) приобретают вид

и для непрерывных процессов мы имеем:

Последняя формула есть интегральное уравнение для искомой функции В случае, когда помеха

является стационарным случайным процессом, мы имеем:

и ядро этого уравнения является четной функцией разности

Ограничиваясь стационарными помехами, рассмотрим, наконец, обнаружение полезного сигнала

с неизвестной амплитудой и неизвестным временем появления. В этом случае вместо (26.43) мы будем иметь

или для непрерывных процессов

Частотное представление всех этих операций будет систематизировано в следующем параграфе.

1
Оглавление
email@scask.ru