§ 26. ФИЛЬТРАЦИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ПРОЦЕССОВ I

В предыдущих параграфах мы рассмотрели задачи о фильтрации последовательностей, причем обозначения были выбраны таким образом, чтобы подчеркнуть далеко идущую аналогию с непрерывными процессами. В теории оптимальных приемников (во второй части книги) удобнее применять несколько иные обозначения, которые мы и приведем в этом и следующем параграфах. Во второй части книги мы будем для простоты рассуждений ограничиваться, главным образом, последовательностями, поскольку переход к непрерывным процессам, как правило, достаточно прост. Оптимальные приемники, исследуемые во второй части книги, в качестве своего существенного звена часто содержат оптимальные линейные фильтры, изученные в первой части данной книги, поэтому целесообразно представить теорию этих фильтров в виде, удобном для сравнения с теорией оптимальных приемников.

Пусть нам известна случайная последовательность

элементы которой равны сумме элементов (полезный сигнал) и (помеха)

Величины образуют случайную последовательность, их) первые и вторые моменты соответственно равны

так что свойства помехи определяются матрицей - симметричной матрицей порядка.

В зависимости от свойств последовательности возникают разные задачи. Если величины также случайны, причем их моменты известны

то возникает задача об оптимальном восстановлении (или выделении) величин из их смеси (26.02) с помехой. Ограничиваясь линейными операциями над заданными числами мы ищем коэффициенты в формуле

обеспечивающие минимум среднего квадрата ошибки

Если ввести в дополнение к (26.03) и (26.04) обозначения

то средний квадрат ошибки (26.06) равен

Условие минимума

приводит к уравнениям

позволяющим, по крайней мере в принципе, определить искомые коэффициенты . В самом деле, если через обозначить элементы матрицы, обратной т. е. если удовлетворяют уравнениям

где символ Кронекера, то искомые величины будут равны

В дальнейшем мы будем для простоты считать последовательности взаимно некоррелированными

тогда выражения (26.07) примут вид

а формулу (26.12) можно будет переписать в виде

Сами уравнения (26.10) можно переписать следующим образом:

или

где мы использовали первую формулу (26.14) и обозначили через матрицы, обратные матрицам соответственно. В силу уравнений (26.10) средняя квадратичная ошибка при оптимальных коэффициентах равна

Рассмотрим теперь другой случай, когда последовательность известна полностью, однако при этом может либо присутствовать, либо отсутствовать в последовательности в отсутствие величины сводятся к чистой помехе, т. е. вместо (26.02) мы имеем

Здесь также можно искать коэффициенты такие, что при образовании величины

получается наибольшее отношение сигнал/помеха, определяемое формулой

и характеризующее достоверность обнаружения полезной последовательности на фоне помех. Здесь

и

Услозие максимума

приводит нас к системе уравнений для неизвестных коэффициентов

где с — произвольная постоянная. Если опять воспользоваться обратной матрицей то

Если вместо известной последовательности во входной последовательности (26.02) может содержаться одна из последовательностей и нам нужно решить, какая из возможностей реализуется, то естественно образовывать величины

и искать коэффициенты так, чтобы параметры

принимали наибольшие значения. Это приводит к уравнениям

по существу не отличающимся от уравнений (26.25). Те же соотношения получаются, если полезный сигнал появляется с неизвестной амплитудой т. е. в виде последовательностей Решение уравнений (26.29) можно представить в виде

Если последовательность (26.01) задана в моменты времени

так что

то корреляционные функции можно записать следующим образом:

Коэффициенты в формуле (26.05) удобно, однако, писать в виде

так что формула (26.05) и уравнения (26.10) принимают вид

Отсюда уже легко перейти к процессам, являющимся функцией непрерывного времени достаточно заменить суммы на интегралы

где

есть интервал времени, в течение которого задана функция

Если все процессы стационарны, то

и поэтому можно считать

Тогда формулы (26.38) переходят в соотношения гл. I.

В случае, когда полезный сигнал полностью известен, мы полагаем произвольный элемент последовательности (26.31)]

так что формулы (26.20) и (26.25) приобретают вид

и для непрерывных процессов мы имеем:

Последняя формула есть интегральное уравнение для искомой функции В случае, когда помеха

является стационарным случайным процессом, мы имеем:

и ядро этого уравнения является четной функцией разности

Ограничиваясь стационарными помехами, рассмотрим, наконец, обнаружение полезного сигнала

с неизвестной амплитудой и неизвестным временем появления. В этом случае вместо (26.43) мы будем иметь

или для непрерывных процессов

Частотное представление всех этих операций будет систематизировано в следующем параграфе.