§ 5. ОБОБЩЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ФИЛЬТРА

Будем считать, что линейный фильтр работает по формуле (4.39). Задачу сформулируем следующим образом. Как надо выбрать функцию и коэффициенты чтобы на выходе системы получить функцию возможно меньше отличающуюся от нужной нам функции Будем искать оптимальный фильтр, средняя квадратичная ошибка которого была бы наименьшей. Так как

то

или

Преобразуя квадрат суммы и интеграла в двойные сумму и интеграл и внося множители под знак интеграла, получим

Продифференцируем теперь соотношение (2.06) а раз по х, а соотношение (2.05) а раз по а. Получаем

Продифференцировав последнее соотношение раз по х, получим

Теперь перепишем выражение (5.04) в виде

выразив средний квадрат ошибки через корреляционные функции.

Обозначим теперь, как и раньше (§ 2), среднюю квадратичную ошибку через для оптимального фильтра и через для любого другого. Для того чтобы функция и коэффициенты обращали выражение для средней квадратичной ошибки (5.07) в минимум, необходимо и достаточно удовлетворить уравнению

Доказательство проводится так же, как и в § 2. Пусть соответствуют оптимальному фильтру, тогда

для неоптимального будем иметь и средняя квадратичная ошибка будет равна

Выделяя выражение для средней квадратичной ошибки оптимального фильтра, получим

где

Отсюда видно, что

В силу формулы (5.06) выражение (5.10) можно записать в виде

Теперь легко показать, что для того, чтобы выполнялось неравенство

необходимо, чтобы выражения в квадратных скобках формулы (5.13) исчезли, в частности необходимо выполнение интегрального уравнения (5.08). Если оно выполняется тождественно при любых х, то все остальные квадратные скобки в правой части формулы (5.13) также исчезают. Действительно, продифференцировав тождество (5.08) а раз по х и положив мы как раз докажем равенство нулю квадратной скобки при

Символически уравнение (5.08) можно записать так:

Написанное выше уравнение (5.15) достаточно для того, чтобы фильтр был оптимальным. Доказывается это, как и в § 2, с помощью неравенства (5.12).

Попробуем решить уравнение (5.08) или (5.15). Умножая обе его части на Ли интегрируя в пределах от до в правой части получим выражение для спектральной интенсивности так что

Произведя интегрирование по частям, получим

Поскольку при обращается в нуль, мы имеем

и повторяя эту операцию а раз, получим окончательно

Согласно формуле (2.26)

так что равенство (5.16) примет вид

Мы видим, что частотная характеристика оптимального фильтра I типа равна

Эта формула внешне выглядит так же, как формула (2.28), однако она обоснована нами теперь для более широкого класса фильтров. Это значит, что дает интегральную часть оператора К соответствующего оптимального фильтра, а полином линейный дифференциальный оператор

Выражение для частотной характеристики оптимального фильтра можно записать также в виде (4.26) или (4.27).

Выразим теперь ошибку оптимального фильтра через спектральные интенсивности. Исходя из формулы (5.07) и принимая во внимание интегральное уравнение (5.08), получим выражение

или

Пользуясь формулой (2.30), можно также написать 00

Нужно заметить, что эти вычисления годятся не только для фильтров I типа, их можно применить и для фильтров

II и III типов. Подставляя в (5.25) выражение (5.22), мы получаем в более общих предположениях формулу (4.31) для фильтра I типа.

Необходимо, чтобы интеграл в правой части равенства (5.24) сходился. В каждом конкретном случае надо проверить его сходимость. Впрочем, расходимость этого интеграла имеет место лишь при бесконечных значениях производной при а тогда даже обобщенного уравнения оптимального фильтра написать нельзя и, значит, задача не имеет решения.

Формулу (5.24) можно записать также в виде

где слагаемое дает разброс значений вокруг среднего значения в результате вычитания получим

Для оптимального фильтра, осуществляющего простую фильтрацию, мы имеем

При простой фильтрации приближается к когда входной сигнал забит весьма интенсивными помехами, имеющими тот же спектральный состав, что и сам сигнал (ср. конец § 2). Тогда по формулам (2.42) и (2.43) функция мала, и на выходе фильтра получаем малую функцию При мы, очевидно, будем иметь или