§ 10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ...

Рассмотрим более детально свойства функций,

входящих в выражение для частотной характеристики оптимального фильтра

выведенное выше.

Начнем с функции

определенной леммой Дифференцируя обе части последнего равенства по получим

Замечая, что

будем интегрировать по частям

где Производная функции Поскольку исчезает на бесконечности, первый член справа в равенстве (10.04) равен нулю, и мы имеем

Возьмем в качестве функции выражение (9.14). Чтобы избавиться от вспомогательного параметра, представим функцию в виде

где

тогда функции также можно представить в виде

Если теперь попытаться найти по формулам вида (8.26) функции или то интегралы порознь будут расходиться, в то время как для самой функции которая стремится на бесконечности к нулю, сходимость интегралов обеспечивается.

Мы будем вначале вычислять производные функций Из второго равенства (10.08) вытекает соотношение

Поскольку

и

то интеграл

будет сходиться, ибо функция убывает как а вся подынтегральная функция убывает на бесконечности, как .

Производную легко наити. У подынтегральной функции один полюс выше пути интегрирования другие два ниже пути интегрирования Деформируя путь интегрирования наверх, вычисляя вычет в точке и пользуясь тем, что интеграл по полуокружности (рис. 8) при стремится к нулю, получаем

откуда

Выберем постоянную так, чтобы

Возьмем также функцию в виде

тогда мы можем переписать формулы (9.18) так

поскольку

Перейдем к исследованию функций Дифференцируя вторую формулу (10.07), получим

откуда

Эта формула позволяет найти функцию с точностью до постоянного слагаемого.

В качестве примера рассмотрим случай, когда является рациональной функцией (9.20). Тогда

и

Подставляя выражение (10.21) в формулу (10.19) и вычисляя интеграл по вычетам [подобно тому, как выше это было сделано при выводе формулы (10.13)], получим

и аналогично

Произведя интегрирование равенств (10.22) и (10.23), получим

и формулы (10.17) принимают вид

где пока неизвестные мультипликативные постоянные. мула (9.12) прлводит к соотношению

Формула (9.10) дает

и поэтому

Беря знак плюс, мы получим окончательно

Знак минус дает для оптимального фильтра II типа то же решение. Действительно, при изменении знака и функция (а следовательно, также изменит знак, и частотная характеристика (10.01) остается без изменения.

Мы получили те же самые формулы (9.24), которые раньше мы писали без вывода и обосновывали лишь

непосредственной проверкой. Изложенный в данном пара, графе метод вычисления функций имеет, однако, более общее значение и может быть применен в тех случаях, когда функция не является рациональной.