§ 10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ...
Рассмотрим более детально свойства функций,
входящих в выражение для частотной характеристики оптимального фильтра
выведенное выше.
Начнем с функции
определенной леммой 
Дифференцируя обе части последнего равенства по 
получим
Замечая, что
будем интегрировать по частям
где 
Производная функции 
Поскольку исчезает на бесконечности, первый член справа в равенстве (10.04) равен нулю, и мы имеем
Возьмем в качестве функции 
выражение (9.14). Чтобы избавиться от вспомогательного параметра, представим функцию 
в виде
где
тогда функции 
также можно представить в виде
Если теперь попытаться найти по формулам вида (8.26) функции 
или 
то интегралы порознь будут расходиться, в то время как для самой функции 
которая стремится на бесконечности к нулю, сходимость интегралов обеспечивается.
Мы будем вначале вычислять производные функций 
Из второго равенства (10.08) вытекает соотношение
Поскольку
и
то интеграл
будет сходиться, ибо функция 
убывает как а вся подынтегральная функция убывает на бесконечности, как 
.
Производную 
легко наити. У подынтегральной функции один полюс выше пути интегрирования 
другие два ниже пути интегрирования 
Деформируя путь интегрирования наверх, вычисляя вычет в точке 
и пользуясь тем, что интеграл по полуокружности 
(рис. 8) при 
стремится к нулю, получаем
откуда
Выберем постоянную так, чтобы
Возьмем также функцию в виде
тогда мы можем переписать формулы (9.18) так
поскольку
Перейдем к исследованию функций 
Дифференцируя вторую формулу (10.07), получим
откуда
Эта формула позволяет найти функцию 
с точностью до постоянного слагаемого.
В качестве примера рассмотрим случай, когда 
является рациональной функцией (9.20). Тогда
и
Подставляя выражение (10.21) в формулу (10.19) и вычисляя интеграл по вычетам [подобно тому, как выше это было сделано при выводе формулы (10.13)], получим
и аналогично
Произведя интегрирование равенств (10.22) и (10.23), получим
и формулы (10.17) принимают вид
где 
пока неизвестные мультипликативные постоянные. 
мула (9.12) прлводит к соотношению
Формула (9.10) дает
и поэтому
Беря знак плюс, мы получим окончательно
Знак минус дает для оптимального фильтра II типа то же решение. Действительно, при изменении знака 
и 
функция 
(а следовательно, 
также изменит знак, и частотная характеристика (10.01) остается без изменения.
Мы получили те же самые формулы (9.24), которые раньше мы писали без вывода и обосновывали лишь
непосредственной проверкой. Изложенный в данном пара, графе метод вычисления функций 
имеет, однако, более общее значение и может быть применен в тех случаях, когда функция 
не является рациональной.
