§ 48. ОПТИМАЛЬНЫЙ ПРИЕМНИК В ЧАСТНЫХ СЛУЧАЯХ

Формула (47.29), описывающая междупериодную обработку входных данных оптимальным приемником, довольно сложна, поэтому мы рассмотрим наиболее интересные частные случаи. Начнем с пачки, состоящей из двух сигналов Если обозначить

то будем иметь

и

Величина равна

В предельных случаях имеем следующие результаты.

1. Некоррелированные мерцания, Фаза из формулы (48.04) выпадает, и когерентность пачки благодаря мерцаниям исчезает; в частности, когерентного накопления производить нельзя. Выражение

при некоррелированных помехах принимает вид

т. е. оптимальный приемник должен производить накопление сигналов после квадратичного детектора. Наоборот, при сильно коррелированных помехах имеем

так что оптимальный приемник должен образовывать череспериодные разности с учетом набега фаз в результате чего сильно коррелированные помехи почти полностью вычитаются. При когда отражающие частицы в целом неподвижны,

приемник производить череспериодное вычитание по обоим каналам, а затем суммировать квадраты этих разностей.

2. Полностью коррелированные мерцания, Этот случай наиболее близок к рассмотренному в гл. V приемнику для пачки постоянных сигналов, однако здесь амплитуда обоих сигналов в пачке хотя и одинакова, но случайна. Выражение

для коррелированная помех опять переходит в выражение (48.07), а для некоррелированных помех дает

т. е. оптимальная обработка заключается в когерентном сложении сигналов с учетом набега фазы

Если коэффициент корреляции помех любой, и то

если

Таким образом, оптимальный приемник при этих значениях должен производить когерентное сложение (т. е. простое сложение или вычитание). Заметим, что при 1 формулы (48.08) и (48.12) становятся эквивалентными.

3. Некоррелированные помехи, Обозначая будем иметь

Это выражение применимо при любой корреляции между последовательными сигналами; для некоррелированных и полностью коррелированных мерцаний оно переходит в формулы (48.06) и (48.10) соответственно.

4. Сильно коррелированные помехи, 1 и [30. В силу того, что можно в фигурной скобке выражения (48.04) пренебречь членами, пропорциональными и тогда получается

как в формуле (48.07).

Ряд полученных выше соотношений нетрудно обобщить на случай любого числа сигналов в пачке. Мы ограничимся случаем сильно коррелированных помех ,

Когда элементы велики и выражение (47.29) можно писать в приближенной форме

Если матрицу задать в виде

то элементы матрицы будут равны (ср. § 35 и § 40)

а остальные будут нулями. Формула (48.15) принимает вид

поскольку . В данном случае оптимальный приемник должен производить квадратичное накопление последовательных разностей.

Если корреляционные коэффициенты заданы формулой

то при имеем

и вместо формулы (48.18) получаем выражение

содержащее разность второго порядка. Можно показать, что при появляется разность третьего порядка, а при - четвертого; по-видимому, при любом получим разность порядка.

В гл, XI показано, что формулы (48.16) и (48.19) определяют законы спадания коэффициента корреляции помех, обусловленных отражениями от хаотически движущихся частиц, в предельных случаях больших и малых х (по сравнению с временем корреляции для скоростей частиц). Мы видим, что в этих предельных случаях формулы для оптимальной обработки получаются совершенно различными.

Появление разности второго порядка в формуле (48.21) можно понять так. Обозначим

и зададим вторые моменты случайных величин с помощью соотношений

считая вещественными числами. В случае (48.16) мы должны положить

а в случае

Из соотношений (48.23) вытекают формулы

и

При мы имеем

так что в данном случае образование квадрата разности второго порядка и квадратичное накопление простых разностей приводит к практически одинаковым результатам. Полагая мы, однако, получаем

так что при разность второго порядка дает значительное ослабление интенсивности помех по сравнению с формулой (48.26).