§ 47. КОЭФФИЦИЕНТ ПРАВДОПОДОБИЯ ДЛЯ КОГЕРЕНТНОЙ ПАЧКИ

Перейдем к исследованию оптимального приемника, обнаруживающего мерцающую цель по когерентной пачке сигналов. Учитывая в этом случае между периодную корреляцию помех по формуле (43.16), можно по § 59 ввести комплексные случайные величины соответствующие помехе и удовлетворяющие соотношениям

Если по аналогии обозначить

то согласно формулам (43.06) и (43.12) будем иметь

Обозначим через матрицу, обратную через матрицу, обратную Нетрудно показать, что матрицы

будут взаимно обратными, так как выполняется соотношение

Поскольку комплексные случайные величины предполагаются нормальными, плотность вероятности для них равна

Если ввести далее комплексные случайные величины

то коэффициенты правдоподобия будут равны

где функция определяется формулой (47.07), а функция формулой (43.14). Коэффициент правдоподобия определяющий работу оптимального приемника обнаружения, равен

где интегрирование производится по всем возможным значениям Хотя вычисление интеграла (47.10) производится тем же методом, что и вычисление интеграла (59.15) (см. далее § 59), и приводит к формуле (47.25), мы используем ниже другой способ вычисления ведущий к цели более быстро. Здесь мы обращаем внимание читателя лишь на то, что формулу (47.09) можно более детально записать в виде

где

и

Поэтому из формул (47.10) и (47.11) следует, что внутрипериодная обработка входных величин в оптимальном приемнике должна заключаться в образовании величины

где

Дальнейшая обработка величин зависит лишь от междупериодной корреляции помех и полезных сигналов. Величины являются нормальными как в присутствии сигналов, так и при наличии одних помех, причем

Формула (47.15) показывает, что

где усреднение производится по мерцаниям цели при фиксированном значении . С другой стороны, мы для величин имеем

или в силу второго соотношения (47.13)

При наличии полезного сигнала, в силу независимости процессов мы имеем

и плотность вероятности равна

где суть элементы матрицы, обратной Если же полезный сигнал отсутствует, то

и плотность вероятности для тех же величин равна

причем

Если в результате эксперимента реализовалась какая-то последовательность значений то согласно общей теории (ср. гл. V) вероятность наличия полезного сигнала определяется коэффициентом праздоподобия

в данном случае равным

Коэффициент правдоподобия (47.26) можно записать короче так:

где определители

зависят лишь от статистических свойств сигналов и помех, а величина

определяется также данными на входе приемника. Поэтому оптимальный приемник должен образовывать величину или какую-нибудь другую, с ней однозначно связанную.

В заключение отметим, что в первоначальной постановке задачи мы предполагали известными — выборки вещественной функции на входе приемника, а не комплексные величины выборки некоторой комплексной функции связанной с соотношением

Однако определение функции не представляет труда. Оно особенно просто в случае узкополосных сигналов, ширина полосы частот которых мала по сравнению с несущей частотой — это условие всегда выполняется на практике. В самом деле, тогда можно записать в виде

где к медленно меняющиеся функции времени, и комплексная функция равна

Вещественную функцию

можно практически осуществить, задерживая процесс (47.31) на четверть периода поскольку за это время функции практически не успеют измениться.

Таким образом, оперируя с комплексными случайными величинами

мы предполагаем, что производится двухканальная обработка входных данных - в более общем смысле, чем это предполагалось в предыдущей главе.

Более простые формулы получаются, если не стремиться к общности и считать, что корреляционные свойства помехи

определяются формулой (43.15) и что в частности, регулярное движение отражателей отсутствует. Тогда величины в формуле (47.34) определяются выражениями

— такими же, как и в предыдущей главе. Все остальные результаты этого параграфа остаются в силе.

В дальнейшем мы будем использовать общее определение комплексных величин до тех пор, пока это не приводит к сильному усложнению формул; в § 49 мы используем уже более простую формулу (43.15).