§ 19. ТЕОРЕМА КОТЕЛЬНИКОВА И СОПРЯЖЕННАЯ ТЕОРЕМА

Теорема Котельникова дает представление сигнала с ограниченным спектром. Возьмем интеграл Фурье

где

Будем считать, что

Это значит, что спектральная амплитуда отлична от нуля лишь в пределах , и, следовательно, в этом интервале ее можно разложить в ряд Фурье, который мы берем в комплексной форме

Коэффициенты ряда Фурье будут равны

Сравнивая выражение (19.05) с формулой (19.01), получаем

или, положив для сокращения

мы можем переписать формулы (19.06) и (19.04) в виде

Подставляя это выражение в формулу (19.01) и учитывая условие (19.03), мы получим

или

Это есть теорема Котельникова. Она показывает, что если сигнал имеет ограниченный спектр, то его значение

в любой момент времени определяется теми значениями, которые он принимает в моменты отстоящие друг от доуга на интервал (19.07).

Следует отметить, что значение суммы (19.10) в моменты определяется только одним слагаемым, а все остальные слагаемые дают нули, поскольку выражение обращается в нуль при

Имеется и доугая теооема, которую мы будем называть сопряженной теоремой Котельникова. Она относится к сигналу конечной длительности, т. е. предполагает, что

Тогда функцию в интервале можно представить с помощью ряда Фурье

где

и

в виде

Подставляя это выражение в формулу (19.02) и учитывая условие (19.11), получям выражение для комплексной спектральной амплитуды сигнала конечной длительности

Это и есть сопряженная теорема Котельникова, Она показывает, что для сигнала конечной длительности значение спектральной амплитуды при любой частоте одно значно определяется теми ее значениями, которые она принимает при

Отметим, что формулу (19.10) можно применить к функции

где произвольный момент времени, и мы получаем

Здесь как и есть любая функция с. ограниченным спектром. Поэтому, обозначая через и беря вместо просто мы получаем соотношение

несколько обобщающее выражение (19.10).

Теорема Котельникова (19.10) и (19.19) применима к таким функциям времени которые разлагаются в интеграл Фурье (19.01). Для случайных функций вместо спектральной амплитуды вводится (ср. § 3) спектральная интенсивность Поэтому для случайных функций (например, для помех) теорема Котельникова, хотя и очевидна с физической точки зрения, строго говоря, нуждается в особом доказательстве, которое мы сейчас и приведем.

Пусть спектральная интенсивность удовлетворяет условию

аналогичному условию (19.03). Тогда корреляционная функция

связанная с интегральным преобразованием Фурье

очевидно, может быть представлена в виде, подобном

или, как в формуле (19.19),

где произвольный момент времени. Действительно, при выводе формул (19.10) и (19.19) были использованы лишь свойства интегрального преобразования Фурье и условие (19.03).

Чтобы доказать формулу (19.10) для самой случайной функции обозначим

и докажем, что средний квадрат разности

равен нулю. Действительно

и, учитывая, что

мы будем иметь

и

По формуле (19.24) получаем (при

поэтому

Полагая, кроме того, в формуле и учитывая четность функции будем иметь

откуда и получаем искомое соотношение

доказывающее формулу (19.10) для случайного процесса с ограниченным спектром.