§ 15. ВЫДЕЛЕНИЕ КВАЗИМОНОХРОМАТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ ФИЛЬТРАМИ II ТИПА
В радиотехнике вопрос о частотной селекции сигналов хорошо изучен. Интересно поэтому сравнить, что дает статистическая теория фильтрации по сравнению с тем, что уже известно. Постановка задачи та же, что и в § 6. Спектральные интенсивности полезного сигнала 
и суммарного процесса 
мы возьмем в прежнем виде
и
в соответствии с формулами (6.15), (6.18) и (6.25).
Отметим, что мы сейчас рассматриваем в некотооом смысле особый случай, когда, например, в формулах (9.23) и (9.24) надо взять 
Функции 
равны
Второй этап построения оптимального линейного фильтра II типа заключается в определении функции (11.27). Она равна
Третий этап — вычисление функции 
Здесь можно воспользоваться как леммой I, так и леммой II. Воспользовавшись леммой I, получим
Подставляя сюда выражение (15.04) и вычисляя интеграл по вычетам в полюсах, лежащих выше пути интегрирования, получим
Окончательно формулу для частотной характеристики можно записать так:
Реакцию на единичный импульс 
найдем по вычетам в точках 
где введены обозначения
Окончательно функция 
может быть записана в виде
В этих формулах
где 
отношение сигнала к шуму, введенное в формуле (6.28). При 
мы имеем приближенно
и формула (15.10) принимает вид
что согласуется с формулой (14.15).
Выведенные выше формулы справедливы при выполнении условия (6.04), являющегося условием квазимонохроматичности сигнала. При более сильном условии
мы получаем по формулам 
и выписанные выше формулы упрощаются следующим образом
и
Отметим, что а определяет ширину полосы сигнала 
формулу (6.20)], 
ширину полосы фильтра, так как ширина полосы пропускания фильтра равна
Найдем теперь среднюю квадратичную ошибку фильтра II типа. Произведя вычисление интегралов с помощью теории вычетов и пренебрегая членами порядка 
по сравнению 
получим
или
Для фильтров I типа мы в § 6 получили выражение
При 
ошибки для фильтров как I, так и II типа одинаковы и равны 
Это означает, что при большом уровне помех оба фильтра работают плохо.
Если 
то средняя квадратичная ошибка фильтра
II типа примерно вдвое больше, чем для фильтров I типа, которые используют более полную информацию о входном процессе.
Рис. 17. Фильтр с частотной характеристикой (15.22): 
Частотную характеристику (15.16) можно переписать так:
Такой фильтр есть простой резонансный контур с коэффициентом затухания 
(рис. 17), сочетающийся с ослабителем (коэффициент пропорциональности в всегда меньше единицы, достигая ее лишь в предельном случае 
Чисто монохроматические процессы характеризуются параметрами 
В таком случае квадратичная ошибка для фильтров I и II типов равна нулю. Она достигается за счет исключительной избирательности контура, когда входной процесс — смесь монохроматического сигнала и помехи — используется за бесконечно большое время.
