62. Стереографическая проекция.

Закончив основы общей теории групп, мы переходим теперь к рассмотрению некоторого частного примера соответствия между группами, играющего важную роль в физике. Предварительно выясним понятие о стереографической проекции, дающей определенный закон соответствия между точками сферы и плоскости.

Рассмотрим трехмерное пространство с координатными осями XYZ и сферу С с центром в начале и радиусом единица. Пусть S — точка сферы, имеющая координаты (0, 0, — 1), и М — переменная точка на сфере (рис. 3).

Прямая пересечет плоскость ХY в некоторой точке Р, и мы имеем таким образом вполне определенный закон соответствия между точками сферы С и точками плоскости причем точке сферы S с координатами (0, 0, — 1) соответствует бесконечно далекая точка плоскости. Установленное соответствие точек и дает нам стереографическую проекцию сферы на плоскость.

Рис. 3.

Обратимся теперь к выводу формул, дающих стереографическую проекцию. Пусть - перпендикуляр из точки М на ось Z. Мы имеем из подобия треугольников, принимая во внимание, что

Обозначая через (х, у, z) координаты точки М и через координаты Р, сможем написать:

или, проектируя параллельные отрезки ОР и NM на оси X и У:

Уравнение дает нам квадратное уравнение для :

и, решая его, получим:

Но для всех точек на конечном расстоянии мы должны иметь и, следовательно, в предыдущей формуле мы должны брать Пользуясь еще формулами (47), получим окончательные выражения через

Вместо двух вещественных координат на плоскости введем одну комплексную координату Обозначая, как всегда, через С комплексное число, сопряженное с С» мы можем переписать предыдущие формулы в следующем виде:

Представим комплексное переменное С в виде отношения двух других комплексных

Пары значений Е и , отличающиеся общим множителем, т. е. пары вида будут давать одно и то же С, т. е. одну и ту же точку плоскости, и пара значений будет давать бесконечно далекую точку плоскости. Комплексные числа называются однородными комплексными координатами на плоскости. Формулы (49) мы можем, пользуясь (50) и отделяя вещественную и мнимую части, переписать в виде:

Для любых комплексных значений последние формулы дают вещественные , удовлетворяющие соотношению

как это и следовало ожидать, ибо точка находится на единичной сфере.