190. Равнобедренные треугольники.

По определению равнобедренным называется всякий треугольник, две стороны которого равны (если и третья сторона равна им, то такой равносторонний треугольник является частным видом равнобедренного треугольника). Две равные стороны мы называем боковыми, третью — основанием.

Опустим высоту на основание равнобедренного треугольника. Ввиду равенства боковых сторон — наклонных к основанию — высота разделит основание пополам и будет осью симметрии всей рассматриваемой фигуры (рис. 229). Поэтому высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, одновременно является биссектрисой угла между равными сторонами, медианой и осью симметрии основания.

Рис. 229.

Обратно, можно доказать, что если две из указанных четырех линий совпадут, то треугольник будет равнобедренным (а значит, совпадут и все четыре линии). Центр тяжести, центры описанной и вписанной окружностей и точка пересечения высот равнобедренного треугольника — все лежат на его оси симметрии, т. е. на высоте (рис. 229).

Равносторонний треугольник является равнобедренным для каждой пары своих сторон. Ввиду равенства Есех его сторон равны также и все три угла такого треугольника. Учитывая, что сумма углов любого треугольника равна двум прямым, мы видим, что каждый из углов равностороннего треугольника содержит радиан, или 60°. Обратно, чтобы убедиться в равенстве всех сторон треугольника, достаточно проверить, что два из трех его углов равны 60°.

В равностороннем треугольнике совпадают все рассмотренные нами замечательные точки: центр тяжести, центры вписанной и описанной окружностей, точка пересечения высот (называемая ортоцентром треугольника). Обратно, если две из указанных четырех точек совпадут, то треугольник будет равносторонним и, как следствие, совпадут все четыре названные точки.

Действительно, такой треугольник окажется, по предыдущему, равнобедренным по отношению к любой паре сторон, т. е. равносторонним.