§ 30. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Пусть имеем систему дифференциальных уравнений

где коэффициенты суть постоянные. Здесь аргумент, искомые функции. Система (1) называется системой линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Как уже указывалось в предыдущем параграфе, эту систему можно решить путем сведения к одному уравнению порядка, которое в данном случае будет линейным (это было указано в замечании 1 предыдущего параграфа). Но можно решать систему (1) и другим методом, не сводя к уравнению порядка. Этот метод дает возможность более наглядно анализировать характер решений.

Будем искать частное решение системы в следующем виде:

Требуется определить постоянные и k так, чтобы функции ахеи, удовлетворяли системе уравнений (1). Подставляя Их в систему (1), получим

Сократим на . Перенося все члены в одну сторону и собирая коэффициенты при получим систему уравнений

Выберем и k такими, чтобы удовлетворялась система (3). Эта система есть система линейных однородных алгебраических уравнений относительно . Составим

определитель системы (3);

Если k таково, что определитель А отличен от нуля, то система (3) имеет только нулевые решения а следовательно, формулы (2) дают только тривиальные решения

Таким образом, нетривиальные решения (2) мы получим только при таких k, при которых определитель (4) обращается в нуль. Мы приходим к уравнению n-го порядка для определения

Это уравнение называется характеристическим уравнением для системы (1), его корни называются корнями характеристического уравнения.

Рассмотрим несколько случаев.

I. Корни характеристического уравнения действительные и различные. Обозначим через корни характеристического уравнения. Для каждого корня напишем систему (3) и определим коэффициенты . Можно показать, что один из них произвольный, его можно считать равным единице. Таким образом, получаем: для корня решение системы (1)

для корня решение системы (1)

для корня решение системы (1)

Путем непосредственной подстановки в уравнения можно убедиться, что система функций

где произвольные постоянные, тоже является решением системы дифференциальных уравнений (1). Это есть общее решение системы (1). Легко показать, что можно найти такие значения постоянных, при которых решение будет удовлетворять заданным начальным условиям.

Пример 1. Найти общее решение системы уравнений

Решение. Составляем характеристическое уравнение

или . Находим его корни . Решение системы ищем в виде

и

Составляем систему (3) для корня и определяем

или

откуда Полагая получаем . Таким образом, мы получили решение системы

Составляем далее систему (3) для корня и определяем

откуда Получаем второе решение системы

Общее решение системы будет (см. (6))

II. Корни характеристического уравнения различные, но среди них есть комплексные. Пусть среди корней характеристического уравнения имеется два комплексных сопряженных корня:

Этим корням будут соответствовать решения

Коэффициенты определяются из системы уравнений (3).

Так же как можно показать, что действительные и мнимые части комплексного решения тоже являются решениями. Таким образом, мы получаем два частных решения

где — действительные числа, определяемые через Соответствующие комбинации функций (9) войдут в общее решение системы.

Пример 2. Найти общее решение системы

Решение. Составляем характеристическое уравнение

или и находим его корни

Подставляя в систему (3), находим

Пишем решение (7):

Подставляя в систему (3), находим

Получим вторую систему решений (8):

Перепишем решение (7):

или

Перепишем решение (8):

За системы частных решений можно взять отдельно действительные части и отдельно мнимые части:

Общим решением системы будет

Аналогичным методом можно находить решение системы линейных дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами.

В механике и теории электрических цепей исследуется, например, решение системы дифференциальных, уравнений второго порядка

Снова ищем решение в форме

Подставляя эти выражения в систему (10) и сокращая на получаем систему уравнений для определения

Отличные от нуля определяются только в том случае, когда определитель системы будет равен нулю:

Это есть характеристическое уравнение для системы (10); оно является уравнением 4-го порядка относительно k. Пусть — его корни (предполагаем, что корни различны). Для каждого корня из системы (11) находим значения . Общее решение, аналогично (6), будет иметь вид

Если среди корней будут комплексные, то каждой паре комплексных корней в общем решении будут соответствовать выражения вида (9).

Пример 3. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

Решение. Пишем характеристическое уравнение (12) и находим его корни:

Решение будем искать в форме

Из системы (11) находим

Выпишем комплексные решения:

Решением будут действительные и мнимые части:

Теперь можем написать общее решение

Замечание. Мы не рассматривали в этом параграфе случай кратных корней характеристического уравнения. Этот вопрос подробно изложен, например, в книге: Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1970.