13.6.3. Вероятности распознавания

Вероятностные характеристики рассмотренной в п. 13.6.2 системы распознавания могут быть сведены к вероятности правильного распознавания первой ситуации и вероятности правильного распознавания второй ситуации Вероятности ошибок также определяются этими двумя величинами.

При нахождении вероятностей учтем, что величины определяемые выражениями (13.6.40), при заданных и а распределены

по нормальному закону, причем их математические ожидания

дисперсии

и взаимная корреляция

Поэтому независимые нормальные величины, а величина имеет нецентральное -распределение с двумя степенями свободы и параметром нецентральности

Усредняя это распределение по плотностям вероятности из (13.6.33), получаем

где плотность вероятности для приданном биномиальные коэффициенты;

-плотность вероятности центрального -распределения с степенями свободы.

Так как связаны взаимооднозначной зависимостью, неравенства (13.6.34) и (13.6.35) можно переписать непосредственно в терминах z и воспользоваться для нахождения вероятностей распознавания плотностями вероятности из (13.6.44). При этом, например, для случая 1 из (13.6.35), т. е. при соблюдении условий вероятность правильного распознавания первой ситуации

где интегральная функция -распределения с степенями свободы.

Вероятность правильного распознавания второй ситуации

Аналогично вероятности могут быть записаны и для остальных случаев (2, 3, 4 из (13.6.35)). Суммы в (13.6.46), (13.6.47) без труда вычисляются с помощью таблиц -распределения [8] и допускают простые асимптотические представления при малых вероятностях ошибок.