11.3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНАЯ ПРОЦЕДУРА АНАЛИЗА

При параметрически заданной априорной неопределенности, относящейся к законам распределения вероятностей наблюдаемых сигналов, рассмотрим процедуру последовательной проверки гипотез, предложенную А. Вальдом [19]. При применении этой процедуры, как известно, число шагов (время наблюдения) не фиксируется. После каждого шага, на котором наблюдается выборка совершается попытка принять одно из возможных результативных решений Однако, если указанная выборка оказывается неблагоприятной для принятия результативного решения, допускается отказ от его принятия и продолжение наблюдения, при котором рассматривается выборка Такой способ анализа применяется тогда, когда не безразличен момент принятия решений и желательно обеспечить наибыстрейшее в среднем их принятие. Вместе с тем после принятия решения совершается некое необратимое действие, так что продолжение наблюдений бесполезно и ода прекращаются.

Следует подчеркнуть, что все сказанное относится только к процедуре последовательной проверки гипотез, а не к оптимальному правилу принятия решений. При отсутствии априорной неопределенности и при независимых наблюдениях такое правило синтезировано

и описано в [6, 9]. Оно сводится к составлению на каждом шаге наблюдений отношений правдоподобия и к сравнению их с двумя порогами.

Из результатов гл. 6 следует, что при наличии параметрической априорной неопределенности это правило должно остаться в силе, если место неизвестных параметров, от которых зависят отношения правдоподобия, займут их оценки максимального правдоподобия, найденные на тех же шагах наблюдения. Однако при такой априорной неопределенности остается открытым вопрос о выборе порогов, с которыми должны сравниваться отношения правдоподобия.

Кроме того, представляет несомненный интерес синтез оптимального алгоритма последовательного анализа в случае статистической зависимости выборочных значений

Нахождение абсолютно оптимального решения, связанного с минимизацией среднего риока при априорной неопределенности и статистической зависимости данных наблюдения, наталкивается на большие трудности. Поэтому мы применим в рамках процедуры последовательного анализа принцип локальной оптимальности, связанный с минимизацией текущего среднего риска на каждом шаге наблюдений, и проведем с этой целью следующие рассуждения.

Как и при классическом анализе ситуации X могут принимать лишь дискретные значения в связи с которыми на каждом шаге наблюдений могут быть приняты решения Введем формально решение о том, что необходимо продолжить наблюдения и перейти к шагу. Обозначим потери на шаге наблюдений в случае принятия решения в ситуации через т. е.

Смысл потерь, связанных с результативными решениями, остается тем же, что и при [классической процедуре анализа. Разница заключается лишь в возможной зависимости этих потерь от номера шага Рассмотрим для пояснения этой зависимости пример медицинской диагностики. Допустим, что надо распознать болезнь, требующую хирургического вмешательства, от болезни, не требующей такового. Так как болезнь развивается, небезразлично, на каком шаге наблюдения будет принято решение. Даже если оно будет правильным, но принятым слишком поздно, потери могут оказаться чрезмерно большими.

Вместе с тем имеют место потери при принятии на шаге решения о необходимости продолжения наблюдений. Обычно это стоимость шага эксперимента, на котором решение не принято. Однако сюда могут быть отнесены и потери за счет задержки в принятии решения, если они не включены или неполностью включены в потери, связанные с результативными решениями.

Для формализации последующих рассуждений полезно ввести также нулевые потери

возникающие при где — номер шага, на котором принято результативное решение.

Тогда общие потери, связанные с системой последовательного анализа,

Среднее значение этих потерь следует минимизировать. Принцип минимизации текущего риска сводится к тому, что вместо минимизации суммы (11.3.2) будем искать решение, минимизирующее на каждом шаге наблюдений среднее значение потерь связанных с этим шагом. Допустим, что на каждом шаге при наличии ситуации с точностью до параметров известна плотность вероятности Составляя выражение для среднего значения потерь, связанных с шагом наблюдений и применяя к нему приближение (11.2.4), получаем

где приняты те же обозначения, что в § 11.2, а -вероятность принятия решения при наблюдении выборки что соответствует общему случаю рандомизированных стратегий.

Благодаря оптимальности нерандомизированных стратегий аналогично (11.2.7) задача минимизации приводит к следующему правилу: на шаге наблюдений принимается решение если

где -оценки максимального правдоподобия параметров полученные на шаге наблюдений.

Разумеется, выбор решения на шаге производится по полученному правилу, только, если на предыдущих шагах анализ не завершился.

При проверке двухальтернативных гипотез, т. е. при правило (11.3.4) принятия решения, где соответствует принятию гипотезы гипотезы принятию решения о необходимости продолжения наблюдений на шаге, после элементарных преобразований принимает вид

где

представляет собой отношение правдоподобия для двух сравниваемых гипотез.

При условие принятия решения преобразуется к виду

если же это условие записывается в виде

Различные конкретные способы задания коэффициентов потерь приводят при применении (11.3.5), (11.3.6) к разным результатам.

Так, если все коэффициенты потерь одинаково зависят от (от времени), отличаясь лишь коэффициентами пропорциональности, выражается формулой

При этом потери, связанные с неправильными решениями, больше потерь, связанных с продолжением наблюдений, а последние больше потерь, связанных с правильными решениями, т. е.

Подстановка (11.3.7) в (11 3.5), (11.3.6) с учетом (11.3.8) приводит к следующим результатам.

Условия принятия первой гипотезы

Условия принятия второй гипотезы

Наконец, условия продолжения наблюдений на шаге

Если удовлетворяются неравенства

то рабочими являются вторые неравенства (11.3.9) и (11.3.10), а неравенства (11.3.11) совместимы. В частности, при равенстве потерь, связанных с обоими ошибочными решениями потерь, связанных с правильными решениями и потерь, связанных с продолжением наблюдений неравенства (11.3.12) принимают вид

Отсюда следует, что

т. е. разность потерь, связанных с ошибочными решениями и с продолжением наблюдений, должна быть больше разности потерь, связанных с продолжением наблюдений и с правильными решениями.

В случае несоблюдения указанных условий попытки построения системы последовательного анализа, минимизирующей средний риск на каждом шаге наблюдений, приводят к нереализуемым процедурам, т. е. такая система имеет смысл только при соблюдении определенных соотношений для потерь.

Если неравенства (11.3.12), (11.3.13) соблюдены, то оптимальная система последовательного анализа сводится к составлению на каждом шаге наблюдений отношения правдоподобия, в котором вместо неизвестных векторных параметров обстановки используются их оценки максимального правдоподобия, полученные на основании выборки Это отношение правдоподобия должно сравниваться с двумя порогами, зависящими от выборки только через коэффициенты и Если пренебречь этой зависимостью, то пороли будут постоянны (от шага к шагу не меняются).

Рассмотрим более общий случай, приводящий, вообще говоря, к переменным порогам в системе последовательного анализа и, возможно, к усеченному последовательному анализу, т. е. к обязательному принятию результативного решения на некотором шаге, если оно не было принято до этого. Допустим, что потери, связанные с продолжением наблюдений, — это стоимость шагов эксперимента, вообще говоря, различная в двух альтернативных ситуациях. Обозначая эти стоимости имеем

Будем считать, что при принятии правильных решений имеют место выигрыши соответственно и потери на эксперимент, так что

При ошибочных решениях возникают потери а также имеют место потери, связанные со стоимостью эксперимента, в результате чего

Подстановка в (11.3.5), (11.3.6) приводит к следующим условиям.

Первая гипотеза принимается, если

Вторая гипотеза принимается при условиях

Решение о продолжении наблюдений соответствует неравенствам

Легко видеть, что, если на некотором шаге

т. е. все порош в неравенствах (11.3.17) — (11.3.19) одинаковы. Это значит, что решение о продолжении наблюдений принято быть не может и на данном шаге анализ заканчивается принятием результативного решения (первой или второй гипотезы).

Для того чтобы последовательный анализ продолжался, необходимо соблюдение условия

Если выигрыши при обоих правильных решениях и потери при неправильных соответственно равны между собой, условие (11.3.20) приводит к тому, что последовательный анализ продолжается, если выигрыш за счет правильного решения остается меньшим, чем потери при неправильном решении

Если с изменением числа шагов функции меняются так, что на некотором шаге достигается равенство то последовательный анализ прекращается.

Однако обычно соотношение между обсуждаемыми потерями и выигрышами либо не изменяется, либо потери с ростом растут быстрее, чем выигрыши В этих случаях последовательный анализ по полученной схеме остается оптимальным в смысле минимизации текущего среднего риска, связанного с каждом шагом наблюдений. Полученное решение было основано, как и в § 11 2, на принципе минимизации усредненного риска (§ 6.5). Если же применять адаптивный байесов подход, Описанный в § 6.2, то все результаты остаются в силе, если положить