16.5. УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССОМ ИЗМЕРЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ

Пусть имеется задача статистического решения, состоящая в определении по совокупности данных наблюдения — единичных измерений, сопровождающихся случайными ошибками — параметров движения некоторого объекта. Будем считать движение этого объекта линейным, так что его текущее положение есть

где положение объекта в начальный момент времени

Конечной целью является определение параметров движения объекта: начального положения и скорости V — и вычисление по их значениям положения объекта

экстраполированного на некоторый момент времени исходя из требования минимума квадрата отклонения оценки экстраполированного положения от истинного значения этого положения.

В силу линейности (16.5.2) относительно и V оптимальная оценка экстраполированного положения при квадратичной функции потерь, имеет вид

где и 9 — оптимальные оценки (условные математические ожидания при фиксированной совокупности данных наблюдения, т. е. апостериорные средние) параметров движения и Поэтому конечное требование минимума среднего квадрата отклонения оценки экстраполированного положения от истинного значения сводится к нахождению оптимальных оценок параметров движения и формированию оценки в соответствии с элементарным правилом (16.5.3).

Минимальный апостериорный риск конечного решения — выбора в качестве оценки экстраполированного положения величины из (16.5.3) — определяется очевидным соотношением

где соответствующие элементы апостериорной корреляционной матрицы параметров и

Будем считать, что для получения оценок параметров и V мы располагаем возможностью произвести единичных измерений в моменты времени причем на данном шаге может быть произведено либо единичное измерение текущего значения координаты объекта, т. е.

где - случайная нормально распределенная величина с нулевым математическим ожиданием и дисперсией либо единичное измерение скорости объекта,

где случайная нормально распределенная величина с нулевым математическим ожиданием и дисперсией Процесс получения данных наблюдения единичных измерений допускает управление следующего вида: на каждом шаге мы можем принять одно из двух решений:

- перейти со следующего шага к получению единичных замеров скорости и продолжать эти измерения до конца;

- продолжить на следующем шаге получение единичных замеров текущего значения координат и подождать до принятия решения на следующем шаге.

Целесообразность такого управления возникает, когда точность оценки скорости по прямым ее замерам оказывается выше, чем точность оценки, полученная в результате использования единичных замеров координаты.

Таким образом, мы имеем многошаговый управляемый процесс измерения, в котором конечный средний и минимальный по конечному решению апостериорный риск (16.5.4) зависят от последовательности решений определяющих порядок получения данных наблюдения. Фактически эти риски зависят только от номера шага на котором принято решение перейти в дальнейшем к получению единичных измерений скорости. При этом

где элементы апостериорной корреляционной матрицы параметров при условии, что сначала произведено замеров текущего значения координаты, а затем единичных замеров скорости. Оптимальная последовательность решений обеспечивающая минимум потерь (среднего квадрата отклонения оценки экстраполированного положения от истинного значения), имеет следующий вид:

где то значение которое обращает в минимум величину (16.5.7), т. е. состоит в постоянном решении производить единичные замеры координат вплоть до шага включительно, а затем от шага производить единичные замеры скорости. Для нахождения оптимального правила решения в целом достаточно найти минимум (16.5.7) по и значение при котором достигается этот минимум.

Будем считать, что априорный разброс значений велик по сравнению с апостериорным при любом выборе значения Тогда апостериорная корреляционная матрица параметров совпадает с матрицей, обратной взятой с противоположным знаком матрице вторых производных по этим параметрам от логарифма функции правдоподобия:

которая зависит от последовательности решений через номер шага на котором принято решение

1. Последняя совпадает в данном случае, благодаря нормальному распределению ошибок единичных измерений которые считаются независимыми для различных шагов, с информационной матрицей Фишера и равна

откуда после обращения и подстановки в (16.5.7) получим следующее выражение для риска:

Последнее приближенное равенство имеет место при любых , если, как это обычно бывает в практических задачах, время экстраполяции существенно больше длительности интервала

Из выражения (16.5.11) следует, что переход к единичным измерениям скорости, вообще, может быть целесообразен только при

т. е. при достаточно высокой точности единичных замеров скорости, так как в противном случае минимум риска по при любых значениях достигается при и соответствует правилу решения, согласно которому в течение всего интервала наблюдения нужно производить замеры только текущих значений координаты. Чтобы задача не стала тривиальной, будем считать условие (16.5.12) выполненным. Тогда оптимальное значение определяется из условия минимума (16.5.11) и существенно зависит не только от отношения но от времени экстраполяции При достаточно больших временах экстраполяции, когда

оптимальное значение т. е. оптимальное правило решения заключается в том, чтобы произвести один единичный замер координаты и после этого перейти к получению единичных замеров скорости.

Конечное решение — оптимальные оценки и V параметров и V (и оценка экстраполированного значения координаты с помощью определяются как оценки максимального правдоподобия, обращающие в максимум функцию правдоподобия (16.5.9) при подстановке в нее Эти оценки могут быть найдены рекуррентно или с помощью простых конечных формул при произвольном и, которое затем следует заменить на

Таким образом, окончательно правило решения, минимизирующее средний квадрат отклонения оценки экстраполированного значения от истинного значения, имеет вид

если выполняются неравенства

если хотя бы одно из неравенств (16.5.15) не выпочняется и

где значение при котором принимается решение

— оценка максимального правдоподобия скорости V, построенная по совокупности единичных замеров скорости;

— оценки максимального правдоподобия параметров и V, построенные по совокупности единичных замеров текущего значения координаты (для оценка

Рассмотренная задача может сопровождаться различными видами априорной неопределенности. Частично мы ее уже учли, когда предположили, что априорный разброс параметров и V велик по сравнению с апостериорным, что эквивалентно полному отсутствию априорных сведений о возможных значениях параметров и Если же такие априорные сведения имеются, например известны априорные дисперсии этих параметров то мы будем иметь чисто байесову задачу, которая с точки зрения выбора оптимального значения отличается от рассмотренной ранее тем, что при вычислении матрицы к матрице из (16.5.10) следует добавить диагональную матрицу

Априорная неопределенность относительно статистических свойств параметров не является существенной с точки зрения как величины конечного риска и вида оценок этих параметров, так и выбора оптимального значения если априорные дисперсии велики по сравнению с дисперсиями ошибок единичных измерений, так что

где оптимальное значение обращающее в минимум (16.5.11).

Наряду с априорной неопределенностью относительно и V может иметь место априорная неопределенность по отношению к статистическим свойствам данных наблюдения — единичных замеров координаты пли скорости или того и другого.

Пусть, например, аналогично § 16.4 неизвестна дисперсия единичною замера координаты Эта априорная неопределенность устраняется применением адаптивного байесова подхода. Соответствующее адаптивное правило решения отличается от обычного байесова заменой в неравенствах (16.5.15) и выражениях для оценок параметров (16.5.16) — (16.5.18) неизвестной величины на ее оценку которая образуется по обычному правилу:

определяются в соответствии с (16.5.20) и (16.5.21). Все остальное остается без изменения, за исключением того, что значение , разумеется, уже определяется величиной Заметим, что поскольку для оценка (16.5.24) обращается в нуль, то решение о переходе к получению единичных замеров скорости не может быть принято раньше третьего шага.

Если неизвестна дисперсия единичного замера скорости то аналогично как это было в задаче § 16.4, связанной с принятием решения о начале наблюдения, из-за отсутствия до момента принятия решения о переходе к единичным замерам скорости в наблюдаемых данных информации о возможном значении дисперсии правило принятия решения или может быть образовано только с использованием прямого минимаксного подхода. Поскольку риск (16.5.11) при любом значении является монотонно возрастающей (при монотонно не убывающей) функцией минимаксное правило принятия решения заключается в выборе того значения которое минимизирует риск (16.5.11) при где априори задаваемое максимальное значение дисперсии единичного замера скорости.

Если при замене на неравенство (16.5.12) не выполняется, то оптимальное правило решения заключается в том, чтобы ограничиться получением только единичных замеров координаты. Если же (16.5.12) выполняется даже при то правило принятия решения по-прежнему определяется в соответствии с неравенствами (16 5.15), в которых следует заменить на а оценки параметров в соответствии с принципами адаптивного байесова подхода определяются выражениями (16.5.16) — (16.5.18), в которых неизвестное значение заменяется на оценку

формируемую после принятия решения на шаге о переходе к получению единичных замеров скорости по этим единичным замерам.