Глава 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ СТАТИСТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ

2.1. РЕШЕНИЯ

Повседневная необходимость и разнообразные практические потребности заставляют человека и создаваемые им автоматы или системы заниматься получением и обработкой информации, направленными на достижение той или иной цели. В соответствии со сложившейся терминологией и для краткости изложения будем называть всякий целенаправленный результат обработки имеющейся информации решением. При этом такие разнородные задачи, как выбор между поездкой на лыжную прогулку и созерцанием экрана телевизора в воскресный день на основе информации, содержащейся в прогнозе погоды, или оценка параметров траектории космического объекта с помощью ограниченной совокупности замеров его координат приобретают общую математическую формулировку и могут рассматриваться с единых методологических позиций. Сам процесс обработки информации, заканчивающийся тем или иным результатом — решением, мы часто для сокращения словесного описания будет называть просто принятием решения.

Процесс обработки информации и принятия решений имеет ряд характерных особенностей, из которых главными являются следующие:

1. Всякое решение направлено на достижение какой-то цели, выбирается из ряда возможных альтернатив (конечного или бесконечного) и приводит к некоторым последствиям, по которым и должно оцениваться качество этого решения.

2. Решение принимается с помощью доступной к моменту его принятия информации двоякого рода. Одна ее часть обобщает прошлый опыт и представляет собой совокупность априорных сведений. Другая — это совокупность данных наблюдения, получаемых в процессе выработки решения непосредственно перед его принятием. Последняя совокупность, которую мы будем обозначать через х, и является как раз объектом обработки в процессе принятия решений. В практических задачах объемы обеих совокупностей могут изменяться в весьма широких пределах и существенно влияют на правила принятия решений (алгоритмы обработки информации) и их качество. В частности, совокупность данных наблюдения х может иметь самую разную физическую природу в соответствии с конкретным содержанием задачи. Это могут быть величины, векторы, процессы, векторные процессы и т. д.

3. За редким исключением доступная при принятии решения информация и последствия от принятия того или иного решения имеют статистическую природу. Она обусловлена незнанием тех или иных скрытых случайных факторов (параметров), влияющих на последствия принятого решения, статистическим характером имеющегося прошлого опыта, случайностью используемых при принятии решения данных наблюдения и т. п. Все это придает процедуре принятия решений статистический характер и исключает возможность вполне однозначно (в детерминистском смысле) предсказать последствия выбора того или иного решения.

4. Во многих случаях необходимо принимать целую совокупность частных решений, которые тем самым носят «многомерный» «векторный» характер. Компоненты этой совокупности могут приниматься

последовательно, и тогда они образуют временной процесс. Существеннейшей чертой процесса последовательного принятия решений является то, что в общем случае предыдущие решения влияют на состояние наших знаний перед принятием очередного решения и изменяют возможные последствия очередного и следующего решений, которые могут быть разными в зависимости от того, какие решения были приняты ранее.

5. Выбор решения из имеющихся альтернатив не обязательно однозначно определяется имеющейся информацией. Он может, а иногда и должен допускать элементы случайности или, как принято говорить, рандомизации. Процедура случайного выбора решения предполагает, что для каждого значения совокупности данных наблюдения х и для каждого из возможных альтернативных решений определены вероятности, в соответствии с которыми и может быть принято любое из возможных решений. Крайним случаем такой рандомизированной процедуры является выбор решения наугад.

Задачей человека или автомата, принимающего решение, является выбор такого решения, которое, исходя из поставленной цели, приводило бы к наиболее благоприятным последствиям. Соответствующие правила принятия решения, определяющие порядок его выбора с использованием имеющейся информации, называются оптимальными. Для их нахождения существует довольно основательный математический аппарат, основными элементами которого являются теория игр и статистических решений [9, 6] и теория динамического программирования, особенно в ее общей стохастической форме [3, 30], позволяющие рассматривать громадное многообразие задач с единых позиций.

Введем некоторые обозначения. Пусть множество возможных решений, его элементы. В соответствии со сказанным ранее решение и формируется с использованием имеющихся данных х, являясь результатом их обработки, и, естественно, зависит от х. В общем случае и может состоять из целой совокупности частных решений, например представлять собой совокупность оценок координат объекта в различные моменты времени, совокупность управляющих воздействий в какой-либо системе автоматического управления и т. п. Элементы и могут иметь достаточно произвольную природу. Они могут быть дискретными либо непрерывными величинами, векторами, процессами, логическими операциями, какими-либо действиями и т. п. Однако все это многообразие с формальной точки зрения может быть сведено к нескольким основным случаям в соответствии с классификацией гл. 1.

А. Пространство решений дискретно. Множество состоит из элементов число которых конечно или счетно, а решение состоит в выборе по имеющейся информации (данным наблюдения одной из возможных альтернатив или просто Примеры — радиолокационное обнаружение (решение о наличии либо отсутствии сигнала от отражающего объекта), распознавание образов (отождествление данных наблюдения х с одним из заданных классов объектов), выбор варианта состава и последовательности работ при планировании и т. п.

Б. Пространство решений непрерывно. В зависимости от конкретного содержания задачи оно может быть ограниченным или бесконечным, одномерным, многомерным, функциональным, векторным функциональным и т. д. Примерами подобных решений являются задачи оценки тех или иных параметров (скаляров, векторов, матриц, функций) с непрерывной областью изменения, содержащихся (закодированных)

з данных наблюдения х, выбор числовых параметров в задачах планирования и распределения ресурсов, формирование управляющих воздействий в системах автоматического управления и т. п.

В. Пространство решений дискретно — непрерывно. Множество состоит из совокупности подмножеств все или часть из которых имеют непрерывную структуру, как в случае Б. Этому типу соответствуют, например, задачи обнаружения с одновременной оценкой параметров полезного сигнала, задачи классификации с определением значений параметров, характерных для данного класса, выбор варианта плана с одновременным выбором параметров этого варианта, например продолжительности работ и величины затрат (имеется в виду, что варианты различаются не только параметрами, но и содержанием и последовательностью работ).

Этими случаями исчерпываются возможные типы решений. Стоит подчеркнуть только, что в случае А каждый из элементов может иметь весьма сложную структуру, например соответствовать целой программе действий, включающей в себя самые разнородные частные операции. Вторая особенность связана с многошаговыми решениями, в которых на каждом шаге, вообще говоря, могут приниматься решения различных типов или В).

Введем теперь формальное описание правила принятия решения (решающего правила) - алгоритма обработки информации (данных наблюдения превращающего эти данные в конечный результат — решение. При отсутствии рандомизации задание этого правила есть задание какого-либо однозначного соответствия между т. е. преобразования определенного для всех возможных значении В зависимости от конкретного способа задания множеств это преобразование может быть обычной функцией скалярного или векторного аргумента, функционалом, функцией множества или иным отображением х в множество более общего вида.

Совокупность различных преобразований (любых или ограниченных какими-либо условиями, характерными для данной конкретной задачи) образует множество всех нерандомизированных решающих правил — алгоритмов обработки данных наблюдения х.

Во избежание недоразумений следует подчеркнуть, что и это совсем разные множества: первое — множество возможных решении, а второе — множество всех возможных правил (алгоритмов) принятия решения с использованием данных наблюдения х. Их общность проявляется только в том, что любой элемент принимает значения которые принадлежат множеству Естественно, что множество может быть существенно богаче множества Например, для случая А множество содержит всего элементов, а множество может быть несчетным.

При наличии рандомизации допускается, что при данном значении могут приниматься различные решения При этом правило принятия решения устанавливает, что для всякого то или иное решение и может быть принято с некоторой вероятностью, зависящей от х. Таким образом, рандомизированное решающее правило определяется заданием на множестве условной вероятностной меры которая и определяет вероятность принятия конкретного решения и при данном х. Процедура принятия решения заключается в том, что после наблюдения определения значений при этом значении для всех возможных и с помощью дополнительного случайного

механизма с вероятностной мерой его исходов производится случайный выбор значений и.

Нерандомизированное правило принятия решения соответствует вероятностной мере которая при данном х всюду равна нулю, кроме точки где она принимает значение, равное единице, или плотности вероятности где однозначная функция х.