12.7. ОБНАРУЖЕНИЕ В ШУМАХ ФЛЮКТУИРУЮЩЕГО СИГНАЛА С НЕИЗВЕСТНОЙ СТАТИСТИКОЙ ФЛЮКТУАЦИИ

Обнаружение в некоррелированном гауссовом шуме флюктуирующего сигнала с известным законом распределения, в частности с гауссовым законом распределения при известной функции корреляции флюктуаций, достаточно полно рассмотрено в литературе (например, [2, 22]). Однако на практике часто встречаются случаи, в которых не только функция корреляции, но и вид закона распределения обнаруживаемого флюктуирующего сигнала неизвестны.

С позиций вышеразвитой теории обратимся к задаче обнаружения такого флюктуирующего сигнала в некоррелированном гауссовом шуме. При этом введем некоторые обычно выполняющиеся предположения. Будем считать, что обнаруживаемый сигнал является высокочастотным периодически модулированным с периодом модуляции много меньшим возможного времени корреляции флюктуаций, так что за период амплитуды косинусной и синусной составляющих сигнала практически постоянны. Шум, как и в предыдущем параграфе, будем считать весьма широкополосным по сравнению с шириной полосы модуляции сигнала.

При наблюдении на интервале где сигнал может быть записан в виде

где законы амплитудной и фазовой модуляции — периодические функции с периодом на интервале постоянны и равны соответственно; с вероятностью с вероятностью -гауссов шум с дисперсией

Если наблюдаются значения сигнала в дискретные мометы времени то они могут быть записаны в виде

где и предполагается,что . Считая, что имеем

Пользуясь системой записи, примененной во всех предыдущих задачах, запишем сигнал, наблюдаемый в точках в виде

где диагональные матрицы.

Таким образом, задача сводится к обнаружению сигнала, обладающего неизвестными векторными параметрами при его приеме в некоррелированном гауссовом шуме. При сформулированных выше условиях больше никаких сведений о сигнале не имеется, за исключением, быть может, диапазонов возможного изменения амплитуд нужных для определения порогов.

Плотности вероятности отношение которых определяет согласно (12.1.1) оптимальный алгоритм обнаружения, находятся как

Оценки максимального правдоподобия параметров определяются из уравнений

из которых

где

При соблюдении вышеупомянутых условий

и оценки

При этом логарифм отношения правдоподобия

Алгоритм обнаружения состоит в сравнении с порогом При превышении этой величины порога принимается решение о наличии сигнала. Так как величина

представляет собой отношение сигнал/шум за время наблюдения, выражение (12.7.10) может трактоваться как оценка отношения сигнал/шум

и алгоритм обнаружения сводится к сравнению этой оценки с порогом. Величина порога

Здесь а

причем, как и в предыдущих задачах, совместная априорная плотность вероятности для всех заменена величиной где — диапазон изменения каждого из параметров Учитывая, что

имеем

Если считать, что амплитуды могут изменяться в диапазоне т. е. то

где максимальное отношение сигнал/шум за период Как и в предыдущих задачах, будем полагать, что соблюдаются условия, при которых

Алгоритм обнаружения при непрерывном наблюдении сигнала может быть получен из (12.7.10) при переходе к пределу при и сводится к тому, что принимается решение о наличии сигнала, если

где

Порог С выражается формулой (12.7.14), в которой

Функциональная схема обнаружителя, реализующего алгоритм (12.7.15), представлена на рис. 12.11. Оптимальные операции над сигналами свелись к корреляционному приему в двух квадратурных каналах за каждый период модуляции сигнала и к суммированию квадратов выходных величин этих каналов за время наблюдения. Результаты суммирования сравниваются с порогом.

Рис. 12.11. Функциональная схема оптимального обнаружителя флюктуирующего сигнала с неизвестным законом распределения флюкт) аций в шуме: 1 — гетеродин, генерирующий колебания , 2 - фазовращатель , 3 - интеграторы за период квадраторы, 5 — накопитель; 6 — реле.

Как известно [2], такой же обнаружитель является оптимальным при обнаружении быстрофлюктуирующего гауссова сигнала, принимаемого в белом шуме (при полностью известной функции корреляции флюктуаций). Таким образом, оптимальный адаптивный обнаружитель сигнала с неизвестной статистикой флюкгуаций, осуществляющий оценку неизвестных амплитуд и фаз сигнала в каждом периоде модуляции, совпадает с оптимальным обнаружителем гауссова быстрофлюктуирующего сигнала в шуме.

Характеристики обнаружения в данном случае должны рассчитываться при заданных которые оцениваются в процессе работы алгоритма обнаружения.

Запишем алгоритм обнаружения в виде

где нормально распределенные случайные величины, статистически независимые, обладающие дисперсиями, равными единице, и математическими ожиданиями

В результате при величина описывается центральным -распределением с степенями свободы, а при -нецентральным -распределением с степенями свободы и с параметром нецентральности

Этим и определяются характеристики обнаружения. Запишем их для случая больших когда справедливо гауссово приближение. Учитывая, что при

для вероятности ложной тревоги имеем

При

так что вероятность правильного обнаружения

В последних выражениях -интеграл вероятности. Характеристика обнаружения при представлена на рис. 12.12.

Рис. 12.12. Характеристика обнаружения сигнала с неизвестным законом распределения флюктуации в шуме.

При последовательном анализе в тех же предположениях, что и в предыдущих задачах, алгоритм обнаружения при наблюдении сигнала в каждом периоде модуляции сводится к составлению

и к сравнению этой величины с двумя порогами

Рекуррентный алгоритм обнаружения определяется рекуррентным соотношением для которое имеет вид

а порог, с которым сравнивается (12.7.25) при наблюдении периода модуляции сигнала, согласно (12.7.14) имеет вид