12.3. ОБНАРУЖЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО СИГНАЛА В ШУМЕ НЕИЗВЕСТНОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ

В тех случаях, когда шумы определяются не только приемниками с известными характеристиками, но и внешними источниками, возникает следующая задача. Требуется обнаружить наличие сигнала заданного вида аддитивно смешиваемого с шумом который будем считать некоррелированным гауссовым, обладающим неизвестной интенсивностью.

В рамках классической процедуры анализа это означает, что наблюдается выборка которая может состоять либо из шумовых компонент, либо из компонент, получающихся при сложении сигнала с шумом. Тогда

где с вероятностью с вероятностью Корреляционная матрица гауссова шума , где символ Кронекера, а неизвестна и может считаться распределенной равномерно в некотором диапазоне

Оптимальный обнаружитель должен составлять согласно (12.1.1) отношение правдоподобия

где — оценки максимального правдоподобия дисперсии шума, полученные в предположениях о наличии и об отсутствии сигнала соответственно.

Далее, очевидно, что определяются выражениями

так что

Величины находимые из уравнений

имеют вид

Поэтому

Согласно (11.2.16) отношение правдоподобия (12.3.6) должно сравниваться с порогом

где и определяются в соответствии с (11.2.5) как

так как

и введены обозначения

Сравнение с порогом (12.3.7) отношения правдоподобия (12.3.6) после подстановки (12.3.8) приводит к следующему алгоритму. Принимается решение о наличии сигнала, если

или

При выполнении обратного неравенства принимается решение об отсутствии сигнала.

Таким образом, оптимальный адаптивный обнаружитель должен в данном случае составлять оценки неизвестной дисперсии шума в предположениях, соответствующих обеим конкурирующим гипотезам, и сравнивать с порогом отношение этих оценок.

Найдем характеристики обнаружения для построенного алгоритма. Учитывая, что

запишем отношение оценок дисперсии шума в виде

Для нахождения характеристик обнаружения нас интересует вероятность

где - плотность вероятности для величины определяемой как

Из (12.3.15) ясно, что - нецентральное -распределение [8]. При больших действует гауссово приближение

Непосредственными вычислениями легко найти, что при

а при

где

Далее,

где интеграл вероятности.

Соответственно вероятность ложной тревоги

и вероятность правильного обнаружения

где отношение сигнал/шум.

Кривая при построена на рис. 12.3, где она сравнивается с характеристикой обнаружения при известной интенсивности шума.

Из выражений (12.3.20), (12.3.21) легко получить асимптотическое представление характеристик обнаружения при Представляя порог из (12.3.10) в виде

где при отсутствии априорной неопределенности, и имея в виду, что при , получаем

где вероятности ложной тревоги и правильного обнаружения при отсутствии априорной неопределенности.

Для нахождения алгоритма обнаружения, который следует применять при наблюдении непрерывной реализации случайного процесса приведем следующие рассуждения.

Если осуществить формальный предельный переход в (12.3.10), (12 3.11) при то порог

а при единичном пороге (12.3.11) преобразуется к виду

и после перехода к пределу получается следующее условие принятия решения о наличии сигнала:

где энергия сигнала,

Рис. 12.3. Характеристика обнаружения сигнала в шуме неизвестной (1) и известной (2) интенсивности.

Этот алгоритм и следует применять, если представляет собой величину порядка единицы.

Однако, учитывая, что, с одной стороны, могут иметь место соотношения коэффициентов потерь и априорных вероятностей, при которых весьма велико либо весьма мало, а с другой стороны, реальный шум не является белым, а имеет полосу мы приходим к следующему алгоритму принятия решения о наличии сигнала:

где порог С определяется (12.3.10) при время наблюдения. Характеристики обнаружения получаются из (12.3.20), (12.3.21) при указанном значении и при отношении сигнал/шум где двусторонняя спектральная плотность шума в полосе

Следует учесть, что в (12.3.27) это уже не белый, а реально существующий шум, так что вопроса о существовании интегралов не возникает. Конечно, алгоритм (12.3.27), строго говоря, не оптимален. Оптимальный алгоритм нужно было бы записать с помощью функционала отношения правдоподобия для случая коррелированного гауссова шума. Однако при больших алгоритм (12.3.27) является достаточно хорошим приближением к оптимальному, переходя при единичном пороге в (12.3.26).

Функциональная схема оптимального обнаружителя представлена на рис. 12.4.

Алгоритм последовательного анализа, определяемый формулами (11.3.17) — (11.3.19) при подстановке в них (12.3.6), (12.3.8), принимает следующий вид. На каждом шаге наблюдений отношение оценок дисперсии шума сравнивается с двумя порогами В случае принимается решение об отсутствии сигнала, в случае решение о его наличии. При наблюдения продолжаются. Величины порогов находятся по формулам

При построении рекуррентного адаптивного алгоритма обнаружения в данном случае удобно представить (12.3.10) на шаге в виде

Для левой части неравенства (12.3.29) непосредственной подстановкой (12.3.5) легко находится рекуррентное соотношение

Рис. 12.4. Функциональная схема оптимального обнаружителя сигнала в шуме неизвестной интенсивности: 1 - генератор сигнала ; 2 — квадраторы; 3 — интеграторы; 4 — делящее устройство; 5 — реле.

которое должно дополняться рекуррентным соотношением для оценок Для последних, исходя из в данном случае сразу находятся точные формулы