13.3.2. Распределение вероятностей величины z и вероятности правильных решений

Найдем характеристическую функцию соответствующую плотности вероятности величины z при выполнении первой гипотезы. Обозначая плотность вероятности вектора у через имеем

Вычисляя обычным образом интеграл (13.3.23), в котором У обозначено пространство величин у, получаем

Знаменатель (13.3.24) преобразуется как

где — единичная матрица порядка Далее,

где введены вектор-столбец и матрица

В результате (13.3.25) принимает вид

Входящая в показатель степени (13.3.24) матрица умножением слева на записывается в виде

Обращая матрицу (13.3.27), имеем

(см. скан)

Подставляя (13.3.29), (13.3.37) - (13.3.39) в (13.3.24), получаем характеристическую функцию z в виде

При выполнении второй гипотезы характеристическая функция величины находится аналогичным способом и определяется выражением

где

Оно получается из выражения для следующей заменой:

Характеристические функции (13.3.40), (13.3.41) приводят к известным распределениям вероятности для z только в некоторых частных случаях. Поэтому рассмотрим прежде всего асимптотическое поведение z при больших отношениях сигнал/шум. Разлагая в ряд Маклорена, получаем следующие выражения для семиинвариантов величины z при выполнении первой гипотезы:

где след матрицы При выполнении второй гипотезы семиинварианты определяются путем замены (13 3 43) (Замена на соответствует изменению знака у нечетных семиинвариантов

Полученные выражения позволяют представить распределение вероятности z рядом Эджворта, в результате чего вероятность правильного решения, если верна первая гипотеза, определяется выражением

где - интеграл вероятности, его производная, плотность вероятности для z при соблюдении первой гипотезы Аналогично при выполнении второй гипотезы вероятность правильного решения

где — семиинварианты z при выполнении второй гипотезы В частности,

При непрерывном наблюдении сигнала полученные формулы остаются в силе, если обозначить

и аналогично для

С помощью (13.3.44) нетрудно установить условия, при которых от. юсительные величины семиинвариантов малы по сравнению с единицей. Фактически для этого достаточно либо либо . В этих условиях всеми поправками к нормальному распределению вероятности можно пренебречь и ограничиться в (13.3.45), (13.3.46) только первыми членами, т. е.

Эффективность распознавания определяется в основном параметрами Эти параметры представляют собой отношения минимальных по соответственно средних квадратов отклонений к дисперсии (при дискретном наблюдении) или к спектральной плотности (при непрерывном наблюдении) шума.

Для оценки степени приближения в приведенных выше формулах для вероятностей рассмотрим простой частный случай в котором скаляры, т. е. каждый из распознаваемых сигналов зависит от одного неизвестного параметра. Многие практические задачи сводятся именно к этому случаю.

В случае дискретных наблюдений

И аналогично для Обозначая

и подставляя в (13.3.44), (13.3.47) выражения для матриц и

имеем

Для выяснения смысла величин учтем, что уравнения для нахождения оценок параметров имеют в данном случае вид

Разлагая в ряды Тейлора в случае, когда соблюдается первая гипотеза, около соответственно и ограничиваясь членами лишь первого порядка малости, легко показать, что из (13.3.53) получаются следующие приближенные выражения для оценок а

Из (13 3.54) следует, что

я коэффициент корреляции оценок

Аналогично при соблюдении второй гипотезы ;

Таким образом, являются коэффициентами корреляции оценок параметров при соблюдении 1-й и 2-й гипотез соответственно.

Нетрудно заметить, что отношения имеют порядок Поэтому относительные величины семиинвариантов порядка убывают как Точные же их значения могут быть определены по формулам (13.3.52) и более общим формулам (13 3.44), которые дают оценки степени приближения в вышеприведенных выражениях для вероятностей

Рассмотрим теперь один важный частный случай, когда распределение вероятностей для z приводится к одному из табулированных распределений и может быть вычислено точно при любых отношениях сигнал/шум (любых величинах Допустим, что ошибки измерения параметров некоррелированы. Из предыдущего вытекает, что при этом Последнее имеет место, в частности, при линейной зависимости от и ортогональности функций

В результате при наличии сигнала (первая гипотеза)

а так как при минимум (13.3.4) в данном случае имеет место при то

Вместе с тем, подставляя конкретный вид функций в (13 3.20), получает

откуда

и аналогично

Подставляя (13.3.59) вместе со сформулированными выше условиями в выражения для характеристических функций (13.3.40), (13.3.41), получаем

Учтем, что

представляет собой характеристическую функцию суммы квадратов независимых нормально распределенных случайных величин следовательно, соответствует закону распределения величины где - величина, имеющая нецентральное -распределение с степенями свободы и параметром нецентральности с [8]. Используя (13.3.61) и известные свойства характеристических функций [16], приходим к выводу, что при выполнении первой гипотезы величина распределена как а при выполнении второй — как

Таким образом, величина z представляется в виде разности независимых случайных величин, имеющих стандартные -распределения [8].

Особенно простые результаты получаются при нулевом пороге , с которым должна сравниваться величина z. В этом случае вероятности правильных решений определяются следующим образом:

где вероятность выполнения написанного в скобках неравенства: величина, подчиняющаяся нецентральному распределению

Фишера -распределению) со степенями свободы и и параметром нецентральности —функция распределения этой величины Асимптотические свойства и таблицы этого распределения приведены в [8], благодаря чему вероятности правильных решений могут быть определены без труда.

Если и является четным, то выражения для вероятностей правильных решений дополнительно упрощаются. В частности, при