4.3.5. Минимаксный принцип

Если существование точного или приближенного равномерно наилучшего правила решения, оправдывающее задание более или менее произвольной меры проблематично, а других оснований для задания нет, то разумным принципом предпочтения при выборе решения является принцип минимакса, согласно которому правило решения выбирается так, чтобы обеспечить

Этот принцип гарантирует, что при всех величина среднего риска для правила решения будет не больше величины, определяемой выражением (4.3.13), т. е. во всем диапазоне условий, характерном для данного уровня априорной неопределенности, средний риск не превысит величины (4.3.13).

Характерной и иногда неприятной особенностью минимаксного правила решения является то, что для «его средний риск может достигать своего максимума не в единственной точке а на некотором подмножестве множества а иногда и на всем множестве В связи с этим, вообще говоря, более предпочтительным может оказаться выбор такого решения, для которого

и даже на некотором подмножестве множества

но зато на остающейся части множества

причем для многих существенно меньше.

Вторая особенность минимаксного принципа — возможная неоднозначность в выборе правила решения Вид поверхности иллюстрирующий эту возможность, показан на рис. 4.3, где имеется, целое множество минимаксных решений. Для выбора между ними необходим дополнительный критерий, в качестве которого целесообразно и удобно использовать критерий минимума усредненного риска (для сохранения гарантированного уровня риска (4.3.13) его минимизацию следует проводить по

Минимаксный принцип в отличие от рассмотренных ранее совсем не требует для устранения влияния априорной неопределенности привлечения каких-либо дополнительных соображений (существования равномерно наилучшего правила решения, асимптотической сходимости, дополнительной меры этом смысле является наиболее аккуратным, поскольку оперирует только непосредственно с основными данными задачи. Степень влияния априорной неопределенности может быть оценена разницей между рисками минимаксного правила решения и байесова с известным распределением величиной

Если для всех где заданная степень допустимого отклонения риска от риска абсолютно оптимального байесова правила решения, то минимаксное правило решения вполне удовлетворительно, а влияние априорной неопределенности на величину риска не превышает

Рис. 4.3. Вид поверхности среднего риска для различных и