14.3. ПРОСТАЯ ФУНКЦИЯ ПОТЕРЬ

Предположим, что функция потерь имеет вид

где символ Кронекера, а — дельта-функция.

Эта функция потерь означает, что при неправильном принятии гипотезы потери равны единице независимо от величин оценок параметров; при любой ошибке в оценке параметров потери также равны единице даже при правильном принятии гипотезы.

Как и в предыдущих главах, применим процедуру минимизации усредненного апостериорного риска (14.2.4) несмотря на то, что процедура, приводящая к правилу (14.2.3), является более логичной в условиях априорной неопределенности. Это связано с тем, что из решения, соответствующего (14.2.4), автоматически получается решение, соответствующее (14.2.3), приравниванием единице некоторых коэффициентов. Подстановка (14.3.1) в (14.2.4) приводит к следующему правилу принятия гипотезы и оценок

Учитывая трудности вычисления многократных интегралов в (14.3.2), а также желательность получения приближенного решения, в котором используются лишь грубые знания об априорном распределении параметров обстановки, мы поступим при вычислении этих интегралов так же, как в предыдущих главах. Предполагая функции гладкими в пределах основного пика функции правдоподобия соответственно считая, что оценка максимального правдоподобия удовлетворяющая условиям

находится внутри области изменения параметров при соблюдении условий, введенных в § 13.6, представим эти интегралы в виде

где

При этом правило (14.3.2) принимает вид

Правило (14.3.6) реализуется достаточно просто.

Однако в многочисленных задачах, в которых априорные распределения для информативных параметров обладают такими же свойствами, что и априорные распределения для параметров обстановки , а матрицы D слабо зависят от ил, это правило еще упрощается. При соблюдении оговоренных условий нетрудно видеть, что оценка близка к оценке максимального правдоподобия которая

находится совместно с оценкой максимального правдоподобия а, т. е. из условия

При этом правило (14.3.6) принимает следующий вид. Принимаются гипотеза и оценка информативных параметров удовлетворяющая (14.3.7), если

Таким образом, осуществляется принятие гипотезы по принципу максимума взвешенного апостериорного распределения совместно с оценкой максимального правдоподобия совокупности параметров где вектор-столбец порядка

Как и в предыдущих главах, априорные плотности во многих случаях можно заменить на и соответственно, где априорные интервалы изменения компонент вектора априорные интервалы изменения компонент вектора Для двухальтернативных задач алгоритм (14.3.8) сводится к следующему правилу принятия первой гипотезы и оценок

где

При выполнении противоположного неравенства принимаются вторая гипотеза и оценки

Таким образом, проверка гипотез осуществляется с помощью сравнения с порогом отношения правдоподобия, в котором неизвестные параметры заменены их оценками максимального правдоподобия, найденными в предположении справедливости соответствующих гипотез. Эти оценки для информативных параметров включаются в искомое решение.

Нетрудно видеть, что процедура оптимизации (14.2.3) приводит также к (14.3.8), если положить В случае двухальтернативных задач это приводит к правилу (14.3.9), где

Простая функция потерь не всегда применима, ибо любым ошибкам измерения информативных параметров приписываются одинаковые потери. Вместе с тем в большинстве случаев соблюдаются условия, которых малым ошибкам соответствуют меньшие потери, чем большим ошибкам. Поэтому целесообразно рассмотреть иную функцию потерь.