14.2. АДАПТИВНОЕ БАЙЕСОВО РЕШЕНИЕ

Общее решение задачи оптимальной проверки гипотез и оценки параметров, им соответствующих, в условиях априорной неопределенности сводится, как и в рассмотренных случаях, к минимизации оценки апостериорного риска (§ 6.2) или усредненного апостериорного риска (§ 6.5).

Задача при этом может быть поставлена следующим образом. Допустим, что имеется проверяемых гипотез и параметров которые нужно оценить при принятии гипотезы

Проверка гипотез и оценка параметров осуществляется на основании наблюдения выборки каждая компонента которой вообще говоря, вектор, связанный с шагом наблюдений. В ситуации (при справедливости гипотезы) плотность вероятности наблюдаемого сигнала обозначим где вектор-столбец информативных параметров порядка вектор-столбец порядка неизвестных параметров "обстановки", которая характерна для ситуации.

Обозначим -вероятности гипотез, условные (при условии выполнения гипотезы) априорные плотности вероятности параметров — условные априорные плотности вероятности параметров обстановки нужные только при применении процедуры оптимизации, изложенной в § 6.5. В дальнейшем будет показано, что при нахождении приближенных решений, как и в предыдущих главах, точный вид этих плотностей вероятности несуществен, если выполняются некоторые условия, связанные с гладкостью соответствующих функций.

Если в ситуации принимается гипотеза и при этом имеют место параметры а делаются оценки то возникают потери, определяемые функцией потерь

Обозначая апостериорный риск (6.2.3) при заданных параметрах можно теперь представить в виде

а усредненный апостериорный риск (6.5.3) в виде

Минимизация оценки апостериорного риска (14.2.1), получающейся в результате замены параметров их оценкой максимального правдоподобия сводится к следующему правилу принятия гипотезы и оценок

Минимизация же усредненного апостериорного риска (14.2.2) приводит к правилу принятия гипотезы и оценок вида

где некоторые оценки параметров а — оценки, приводящие к минимизации соответствующего выражения.

Правила (14.2.3), (14.2.4) нельзя рассматривать как решение поставленной задачи, ибо они включают в себя интегрирование по многомерным областям и не поддаются технически реализуемой трактовке. Правило (14.2.4) можно было бы упростить, осуществляя приближенное интегрирование по Однако благодаря наличию оцениваемых информативных параметров соответствующие приближения удобнее сделать при рассмотрении конкретных функций потерь.