11.2. КЛАССИЧЕСКАЯ ПРОЦЕДУРА АНАЛИЗА

Под классической процедурой будем понимать принятие решения после наблюдения входных данных, описываемых выборкой заданного объема либо в случае непрерывного наблюдения сигналов во времени после наблюдения, вообще говоря, векторной функции времени на данном интервале Такая процедура имеет смысл в тех случаях, когда принятия решения до окончания заданного интервала времени не требуется, а после принятия решения совершаются некоторые необратимые операции, так что изменить решение уже невозможно.

Применяя такую процедуру проверки гипотез, найдем оптимальное правило принятия решений, основанное на адаптивном байесовом подходе в условиях частичной параметрически заданной априорной неопределенности. Получим это правило в соответствии с принципами минимизации усредненного риска (§ 6.5), ибо правило, основанное на принципе, изложенном в § 6.2, получается из него просто приравниванием единице соответствующих коэффициентов.

Величина X в данном случае представляет собой скаляр, который может принимать только значения где число конкурирующих гипотез, так что каждому соответствует гипотеза

Обозначим априорные вероятности гипотез тогда априорная плотность вероятности ситуаций X может быть записана в виде

Если принимаемые решения, то функция потерь может принимать лишь дискретные значения которые в громадном большинстве задач от сигнала х не зависят. Величины представляют собой потери при принятии решения в ситуации.

Допустим, что в каждой ситуации с точностью до параметров обстановки, выражаемых вектором а, определена плотность вероятности наблюдаемых сигналов Обозначим через оценку максимального правдоподобия параметров т. е. величину, определяемую из условия

Плотности вероятности параметров обстановки или при невозможности их вероятностной трактовки соответствующие весовые функции, смысл которых в общем виде обсужден в § 6.5, обозначим

Учитывая доказанную выше оптимальность для рассматриваемой задачи проверки гипотез нерандомизированной стратегии, мы должны для нахождения оптимального правила составить усредненный апостериорный риск (6.5.3) и минимизировать его выбором решения При этом усредненный апостериорный риск с учетом введенных обозначений принимает вид

Применяя обоснованный в § 6.5 приближенный метод вычисления средних по параметрам обстановки плотностей вероятностей для нахождения имеем

где

число компонент вектора а, а матрица аналогично (6.5.6) находится по формуле

компоненты вектора

Задача минимизации усредненного апостериорного риска (11.2.3) в приближении (11.2.4) отличается от аналогичной задачи при проверке многоальтернативиых гипотез в условиях полностью известной

обстановки лишь тем, что вместо априорного распределения ситуаций появились величины а вместо распределений величины Обычно величины а следовательно и значительно слабее зависят от чем и могут быть поэтому заменены постоянными величинами. Как известно [2], при этом величины представляют собой набор минимальных достаточных статистик для рассматриваемой задачи при произвольных коэффициентах потерь и произвольных полностью определяют характер оптимального преобразования сигнала

Минимизация (11.2.3) сводится к следующему правилу принятия решения. При наблюдении выборки принимается решение если при всех

Вводя обозначение

перепишем (11.2.7) в виде

Учитывая слабую зависимость от можно коэффициентами, определяющими вид оптимальной обработки сигналов которая, как уже указывалось, определяется набором величин Коэффициенты же определяются только при известных априорных распределениях для проверяемых гипотез и параметров обстановки. Впрочем, из результатов гл. 6 следует, что конкретный вид распределений вероятностей параметров обстановки мало влияег на обсуждаемые коэффициенты. Что же касается вероятностей то их незнание представляет собой обычную априорную трудность [10], которая может иметь место и при синтезе неадаптивных систем. При ее наличии может быть применена, например, процедура Неймана — Пирсона [12, 16].

Правило принятия решений (11.2.9) можно конкретизировать для различных видов функции потерь. В частности, при часто применяемой простой функции потерь

где символ Кронекера, это правило принимает следующий вид. Принимается решение если при всех

где

Таким образом, в данном случае оптимальный алгоритм проверки гипотез сводится к максимизации взвешенного апостериорного распределения для проверяемых гипотез

причем соответствующие апостериорные распределения составляются При значениях параметров обстановки, равных максимально правдоподобным их значениям при наблюдении данной выборки

Это эквивалентно составлению совокупности отношений правдоподобия

и сравнению их с порогами

Можно, например, попарно составлять отношения правдоподобие для гипотез с несовпадающими номерами, затем выбранные гипотезы опять попарно сравнивать между собой с помощью отношений правдоподобия и т. д. до выбора одного решения.

В случае необходимости учёта зависимости величин от сигналов обычно бывает удобным сравнивать не отношения правдоподобна (11.2.14) с переменными порогами (11.2.15), а величины с порогами Однако это относится лишь к удобству представления результатов и принципиального значения не имеет.

Особенно удобно пользоваться отношением правдоподобия при проверке двухальтернативных гипотез, когда и гипотеза принимается при произвольной функции потерь, если

При выполнении обратного неравенства принимается гипотеза Все конкретные критерии оптимальности получаются при различных способах выбора коэффициентов . В частности, при применении критерия идеального наблюдателя [17 22], соответствующего простой функции потерь (11.2.10), условие (11.2.16) принятия гипотезы принимает вид

Здесь в случае неизвестных априорных вероятностей в классическом виде может быть применена процедура Неймана—Пирсона определения порога по заданной вероятности ложной тревоги [10].

Следует подчеркнуть, что оптимальные правила проверки гипотез, найденные данном параграфе, включают в себя составление по данной выборке оценок максимального правдоподобия параметров обстановки, которые имели бы место при всех проверяемых гипотезах, применение этих оценок в соответствующих распределениях вероятностей Так, например, при проверке двухальтернативных гипотез по одной той же выборке составляются оценки соответствующие альтернативным ситуациям. Векторные параметры могут содержать величины, имеющие одинаковый смысл в обеих ситуациях, например интенсивность или иные параметры шумов, которые во многих задачах не изменяются в различных ситуациях. Однако эти параметры могут содержать и величины, имеющие даже разный физическни смысл в различных ситуациях. Такими величинами могут быть, например, параметры сигналов, которые в задачах обнаружения могут присутствовать либо отсутствовать, а в задачах распознавания иметь разный вид. Тем не менее все эти параметры оцениваются по выборке

в предположениях, что эта выборка относится к той или иной ситуации.

Заметим также, что в оптимальные алгоритмы адаптивной проверки гипотез входят оценки параметров обстановки, полученные на основании всей выборки Это не означает, что нельзя применять рекуррентные алгоритмы построения оценок, полученные в гл. 7. Однако при применении таких алгоритмов следует использовать оценки, полученные в последний момент времени. В ряде случаев это вызывает трудности реализации оптимальных алгоритмов проверки гипотез при работе в реальном времени. Тогда могут быть применены текущие оценки параметров обстановки в алгоритмах проверки гипотез. Конечно, качества соответствующих алгоритмов получаются хуже, чем при использовании оценок по полной выборке сигнала, впрочем, эта трудность возникает не всегда.

Напомним, что адаптивные байесовы правила принятия решений, рассмотренные в § 6.2, отличаются от правил § 6.5 тем, что не производится усреднения по параметрам обстановки, а неизвестные их значения заменяются соответствующими оценками максимального правдоподобия. Нетрудно видеть, что для задачи прсгаертш типотез это означает лишь замену на а следовательно, все полученные окончательные выражения для оптимальных правил принятия решений остаются в силе, если в них положить все Соответственно пороги определяются как

а оптимальное решающее правило по-прежнему состоит в сравнении с этими порогами отношений правдоподобия (11.2.14).

В последующих главах, при решении задач обнаружения и распознавания, мы приведем ряд примеров применения полученных правил принятия решений, соответствующие функциональные схемы, а также ряде случаев анализ качества получающихся адаптивных алгоритмов.