10.6.1. Управление линейным объектом

Рассмотрим пример адаптивного управления многомерным линейным объектом с целью удержания его в заданном состоянии, которое задается последовательностью значений Будем считать, что потери, связанные с отклонением от этого состояния, задаются квадратичной функцией (10.6.3), а сам объект описывается уравнением (10.6.2), в котором матрица С полностью неизвестна, а матрица Апостериорный риск (10.6.11) в данном случае имеет следующий

где последнее слагаемое не зависит от и представляет собой минимальное (при отсутствии ограничений на значение апостериорного риска, зависящее от оценок и апостериорной корреляционной матрицы. Для нахождения оптимального управляющего воздействия это слагаемое не имеет значения.

Входящие в (10.6.16) оценки определяются рекуррентными соотношениями (10.4.21), (10.4.22) при и

где совокупность всех элементов матрицы С представлена в виде вектора-столбца в котором сначала идут по порядку элементы первой строки матрицы С от первого до последнего, а затем — второй строки и т. д. При таком обозначении для совокупности элементов матрицы С входящая в (10.6.17) матрица имеет столько же строк, сколько вектор X, и число столбцов, равное квадрату числа строк, и представляется в следующем виде:

где каждый нуль есть строка из нулевых элементов той же длины, что вектор

После того, как значения оценок для шага получены, можно выбрать оптимальное управляющее воздействие При отсутствии ограничений на минимизация апостериорного риска (10.6.16) производится элементарно и оптимальное управляющее воздействие получается равным

При этом отклонение состояния объекта управления от заданного состояния равно

и целиком определяется точностью оценивания состояния объекта на шаге и характеристик объекта, задаваемых матрицей С.

Если заданы некоторые ограничения на вектор то оптимальное управляющее воздействие будет отличным от (10.6.19). Пусть, например, эти ограничения имеют вид

где некоторая матрица, ограничивают выбор управляющего воздействия внутренними точками области, имеющей форму эллипсоида, соответствующего матрице Минимизируя (10.6.16) по

с учетом ограничивающего условия (10.6.21), получаем, что оптимальное управляющее воздействие имеет вид (10.6.19), если

а если неравенство (10.6.22) не выполняется,

где множитель зависит от и определяется из уравнения

В частном случае, когда

Этот последний случай соответствует заданию ограничений на область возможных значений в виде внутренности сферы радиусом